Use a Lei do Resfriamento para responder às seguintes questões:
Um corpo à temperatura de 50^circ C é colocado em um forno cuja temperatura á mantida à 150^circ C. Se após 10 minutos a temperatura do corpo aumentou em 25^circ C, determine o tempo necessário para o corpo atingir os 100^circ C.

Passo 1

O enunciado diz que um corpo parte de 50 °C e é colocado num forno a 150 °C, e que após 10 min sua temperatura subiu para 75 °C. O conteúdo é a Lei de Resfriamento (ou aquecimento) de Newton, que descreve como a diferença de temperatura decai exponencialmente. Vamos usar esse modelo para achar o tempo necessário até atingir 100 °C.

Passo 2

A Lei de Newton diz que a taxa de variação de temperatura T(t) satisfaz dT/dt = k(T_{ ext{amb}} - T). Ao resolvermos essa equação diferencial com T(0)=50 °C e T_{ ext{amb}}=150 °C, obtemos a solução
T(t)=150 - (150-50)e^-k t=150 - 100e^-k t

Passo 3

Para encontrar a constante k, usamos o dado de que T(10)=75 °C. Substituindo em
75 = 150 - 100e^-10k,
obtemos
100e^-10k=150-75=75
e^-10k=0.75
-10k = ln(0.75)
k = -tfrac110ln(0.75) = tfrac110lnl(tfrac43r) approx 0.02877,min^-1

Passo 4

Agora vamos achar o tempo t_* tal que T(t_*)=100 °C. Da fórmula
100 = 150 - 100e^-k t*
segue
100e^-k t*=150-100=50
e^-k t*=0.5
-k t* = ln(0.5)
t* = -tfrac1kln(0.5) = tfrac1kln(2) approx 0.69310.02877 approx 24.1,min

Resposta

O corpo leva aproximadamente 24,1 minutos para atingir 100 °C.

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