Fluido ideal e Conservação da Entropia. Em Mecânica de Fluidos, com frequência se utiliza a aproximação do fluido ideal em que os efeitos de viscosidade e condução térmica são desprezíveis. Nessas condições, o campo escalar
, que denota a entropia por unidade de massa, permanece constante, ou seja,
. (a) Utilizando o resultado do item (a) do problema 2 para
, mostre que
onde
denota o campo de velocidades do fluido.
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado diz que estamos tratando de um fluido “ideal” (sem atrito nem troca de calor), em que a entropia por massa
não muda para quem viaja junto com o fluido. Ou seja, o material derivative
fica igual a zero. A questão (a) do problema 2 já tinha definido esse “derivada seguindo o fluxo” como
Então aqui a gente vai usar esse resultado pra aplicar em
e chegar em
Conteúdo: definição de derivada material, operador gradiente, produto escalar.
Passo 2
Antes de tudo, o que é a derivada material? Imagine que você gruda num pedacinho de fluido e acompanha ele pelo espaço e tempo. A variação total de
que esse pedacinho “vê” é
Na prática isso vira:
Aqui
-
é como muda num ponto fixo no espaço. -
(gradiente) é um vetor que aponta a direção em que cresce mais rápido, e é o quanto esse movimento do fluido “carrega” variações de .
Passo 3
Agora, como o enunciado afirma que para um fluido ideal “a entropia por massa não muda” para quem viaja junto, basta igualar essa derivada material a zero:
E usando o operador que a gente já tem: