Fluido ideal e Conservação da Entropia. Em Mecânica de Fluidos, com frequência se utiliza a aproximação do fluido ideal em que os efeitos de viscosidade e condução térmica são desprezíveis. Nessas condições, o campo escalar s(r, t), que denota a entropia por unidade de massa, permanece constante, ou seja, d s / d t=0. (a) Utilizando o resultado do item (a) do problema 2 para d / d t, mostre que
d sd t=partial spartial t+v cdot nabla s=0
onde v=v(r, t) denota o campo de velocidades do fluido.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que estamos tratando de um fluido “ideal” (sem atrito nem troca de calor), em que a entropia por massa d sd t não muda para quem viaja junto com o fluido. Ou seja, o material derivative
ddt = partialpartial t + vcdotnabla
fica igual a zero. A questão (a) do problema 2 já tinha definido esse “derivada seguindo o fluxo” como
partial spartial t + vcdotnabla s = 0
Então aqui a gente vai usar esse resultado pra aplicar em e chegar em
Conteúdo: definição de derivada material, operador gradiente, produto escalar.

Passo 2

Antes de tudo, o que é a derivada material? Imagine que você gruda num pedacinho de fluido e acompanha ele pelo espaço e tempo. A variação total de d sd t = taxa de mudança local em s + o quanto o movimento transporta valor de s que esse pedacinho “vê” é
d sd t = partial spartial t ;+; vcdotnabla s ç
Na prática isso vira:
Aqui
  • é como muda num ponto fixo no espaço.
  • (gradiente) é um vetor que aponta a direção em que cresce mais rápido, e é o quanto esse movimento do fluido “carrega” variações de .

Passo 3

Agora, como o enunciado afirma que para um fluido ideal “a entropia por massa não muda” para quem viaja junto, basta igualar essa derivada material a zero:
d sd t = 0
E usando o operador que a gente já tem:
d sd t = partial spartial t + vcdotnabla s = 0

Resposta

boxedpartial spartial t + vcdotnabla s = 0

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