A equação f(x)=x^{3}-4 x+1 possui uma raiz entre x=0 e x=2. Aplique o método da falsa posição até que o erro relativo seja menor que 1 \%.

Passo 1

O enunciado pede encontrar uma raiz de f(x)=x^3-4x+1 usando o método da falsa posição até que o erro relativo seja menor que 1\%. O conteúdo envolve interpolação linear entre dois pontos em que f muda de sinal e cálculo de erro relativo
Precisamos de:
– Identificar o intervalo inicial [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0.
– Em cada iteração, calcular
x_i = b - f(b)\,\frac{b-a}{f(b)-f(a)}
– Atualizar o par (a,b) mantendo mudança de sinal.
– Calcular o erro relativo aproximado
e_a = \left|\frac{x_i - x_{i-1}}{x_i}\right|\times100\%.

Passo 2

Avaliações iniciais:
f(0)=0^3-4\cdot0+1=1>0, \quad f(1)=1^3-4\cdot1+1=-2<0.
Portanto tomamos a_0=0, b_0=1 e f(a_0)=1, f(b_0)=-2.

Passo 3

Primeira iteração i=1:
x_1 = 1 - (-2)\,\frac{1-0}{-2-1} = \frac{1}{3}\approx0,33333.
Calcula-se
f(x_1)=\bigl(0,33333\bigr)^3-4\cdot0,33333+1\approx-0,29630.
Como f(a_0)\cdot f(x_1)=1\cdot(-0,29630)<0, o novo intervalo é [a_1,b_1]=[0,\,0{,}33333].

Passo 4

Segunda iteração i=2:
x_2 = 0,33333 - (-0,29630)\,\frac{0,33333-0}{-0,29630-1} \approx0,25713,
f(x_2)\approx(0,25713)^3-4\cdot0,25713+1\approx-0,01150.
Atualiza-se para [a_2,b_2]=[0,\,0{,}25713] e calcula-se
e_{a,2}=\left|\frac{0,25713-0,33333}{0,25713}\right|\times100\%\approx29{,}6\%>1\%.

Passo 5

Terceira iteração i=3:
x_3 = 0,25713 - (-0,01150)\,\frac{0,25713-0}{-0,01150-1} \approx0,25420,
f(x_3)\approx(0,25420)^3-4\cdot0,25420+1\approx-0,00040.
Atualiza-se para [a_3,b_3]=[0,\,0{,}25420] e
e_{a,3}=\left|\frac{0,25420-0,25713}{0,25420}\right|\times100\%\approx1{,}15\%>1\%.

Passo 6

Quarta iteração i=4:
x_4 = 0,25420 - (-0,00040)\,\frac{0,25420-0}{-0,00040-1} \approx0,25410,
f(x_4)\approx(0,25410)^3-4\cdot0,25410+1\approx-0,00001.
Calcula-se
e_{a,4}=\left|\frac{0,25410-0,25420}{0,25410}\right|\times100\%\approx0{,}04\%<1\%.
Como o erro relativo é menor que 1\%, encerramos o processo.

Resposta

A aproximação da raiz é x\approx0,25410, obtida em 4 iterações com erro relativo inferior a 1\%.

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