Dê uma equação do feixe de planos que contêm a reta
r: X=(1,-1,0)+alpha(2,-3,4)

Passo 1

O enunciado pede o feixe de todos os planos que contêm a reta
r:X=(1,-1,0)+alpha(2,-3,4)
O conteúdo é geometria analítica em R^3: precisamos usar a equação geral do plano e as condições para que uma reta esteja inteiramente contida num plano.

Passo 2

Uma forma conveniente de escrever um plano é
ncdot(X-P0)=0,
onde n=(a,b,c) é o vetor normal e P0 é um ponto do plano. Isso se expande para
a x + b y + c z + d = 0,
com d = -,ncdotP0.

Passo 3

Para conter a reta r é preciso:
  1. O vetor direção v=(2,-3,4) satisfazer
ncdotv=0;Longrightarrow;2a - 3b + 4c = 0
  1. O ponto P0=(1,-1,0) satisfazer a equação do plano, ou seja
acdot1 + bcdot(-1) + ccdot0 + d = 0;Longrightarrow;d = b - a

Passo 4

Substituindo d=b-a na equação a x + b y + c z + d=0 e usando
c = -2a + 3b4
(obtido de 2a-3b+4c=0), temos
a x + b y + l(-2a+3b4r)z + b - a = 0
Multiplicando tudo por 4 para eliminar frações:
4a x + 4b y +(-2a+3b)z +4b -4a = 0

Passo 5

Agrupando termos em a e em b:
a,(4x - 2z - 4) ;+; b,(4y + 3z + 4) ;=;0
Como a e b não são simultaneamente zero, podemos definir lambda = b/a e dividir por a, chegando ao feixe

Passo 6

(4x - 2z - 4) ;+;lambda,(4y + 3z + 4) ;=;0, lambdainR

Resposta

(4x - 2z - 4) + lambda,(4y + 3z + 4) = 0, lambdainR

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