Ache o plano que contêm o ponto P=(1,1,-3) e a reta
r:l x-y+2=0 x+y+z=0

Passo 1

Resumindo, a gente quer achar a equação de um plano que contenha o ponto P=(1,1,-3) e a reta
r: x - y + 2 = 0, x + y + z = 0
O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: vamos parametrizar a reta para obter um ponto e um vetor diretor, depois usar o produto vetorial para encontrar o vetor normal ao plano e, em seguida, montar a equação do plano.

Passo 2

Parametrizamos r. Da primeira equação temos y = x + 2. Substituindo em x + y + z = 0
x + (x+2) + z = 0;Longrightarrow;z = -2x - 2
Logo, com parâmetro t,
(x,y,z) = (t,;t+2,;-2t-2) = (0,2,-2) + t,(1,1,-2)
Tomamos como ponto sobre r o ponto A=(0,2,-2) e o vetor diretor v=(1,1,-2).

Passo 3

Formamos o vetor que vai de A até P:
AP = P - A = (1,1,-3) - (0,2,-2) = (1,,-1,,-1)

Passo 4

O vetor normal n do plano é dado pelo produto vetorial
n = vtimesAP = i & j & k 1 & 1 & -2 1 & -1 & -1 = (-3,,-1,,-2)
Podemos multiplicar por -1 e usar n=(3,1,2) para simplificar.

Passo 5

A equação geral do plano com normal n=(3,1,2) é
3x + y + 2z + D = 0
Para achar D, usamos o ponto P=(1,1,-3):
3cdot1 + 1cdot1 + 2cdot(-3) + D = 0 ;Longrightarrow;3 + 1 - 6 + D = 0 ;Longrightarrow;D = 2
Logo o plano é

Resposta

3x + y + 2z + 2 = 0

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