Uma equação da forma
d yd t+G(t) y=H(t) y^s, s in R
é chamada de equação de Bernoulli. Se s=0 ou s=1, temos uma equação linear. Verifique que, para s neq 0 e s neq 1, a mudança de variável v(t)=y(t)^1-s a transforma numa equação linear.

Passo 1

A equação dada é a equação de Bernoulli
dydt + G(t),y = H(t),y^s,
com parâmetro real sneq0,1. Nosso objetivo é usar a mudança de variável v(t)=y(t)^1-s para transformar essa equação não linear numa equação linear de primeira ordem.

Passo 2

Para começar, calculamos a derivada de v=y^1-s usando a regra da cadeia. Temos
dvdt = (1-s),y^-s,dydt

Passo 3

Agora substituímos dydt da equação de Bernoulli na expressão de dvdt. Da equação original vem
dydt = H(t),y^s - G(t),y,
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Passo 4

substituindo, obtemos
dvdt = (1-s),y^-sl(H(t),y^s - G(t),yr)=(1-s)l(H(t)-G(t),y^1-sr)

Passo 5

Como definimos v=y^1-s, ficamos com
dvdt + (1-s),G(t),v = (1-s),H(t),
que é uma equação linear de primeira ordem em v(t).

Resposta

A mudança de variável leva à equação linear
dvdt + (1-s),G(t),v = (1-s),H(t)

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