(Simmons, p. 62) Encontre as soluções gerais das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Soluções: (a)
, (b)
, ©
, (d)
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Soluções: (a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial linear de primeira ordem que é a letra (a):
Para isso, vamos usar a teoria de equações diferenciais lineares de primeira ordem, especificamente o método do fator integrante. Esse método nos ajuda a resolver equações que podem ser escritas na forma padrão:
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão dividindo todos os termos por
(já que o coeficiente de
é
):
Aqui, identificamos que
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante $ \mu(x) $. Ele é dado por:
Vamos calcular a integral de
Então, o fator integrante é:
Como
Passo 4
Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante para tornar o lado esquerdo uma derivada:
Simplificando:
O lado esquerdo agora é a derivada de
:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvemos para
multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: