(Simmons, p. 62) Encontre as soluções gerais das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
(a) x d yd x-3 y=x^4
(b) y^prime+y=11+e^2 x
© (1+x^2) d yd x+2 x y=cotg x
(d) y^prime+y=2 x e^-x+x^2
(e) y^prime+y cotg x=2 x cossec x
Soluções: (a) y=x^4+c x^3, (b) y=e^-x tan ^-1 e^x+c e^-x, © y= (1+x^2)^-1 ln (sen x)+c(1+x^2)^-1, (d) y=x^2 e^-x+x^2-2 x+2+c e^-x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial linear de primeira ordem que é a letra (a):
x dydx - 3y = x^4
Para isso, vamos usar a teoria de equações diferenciais lineares de primeira ordem, especificamente o método do fator integrante. Esse método nos ajuda a resolver equações que podem ser escritas na forma padrão:
dydx + P(x)y = Q(x)

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão dividindo todos os termos por x (já que o coeficiente de dydx é x):
dydx - 3xy = x^3
Aqui, identificamos que P(x) = -3x e Q(x) = x^3.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante $ \mu(x) $. Ele é dado por:
mu(x)
Vamos calcular a integral de mu(x) = e^integral P(x)dx:
P(x)
Então, o fator integrante é:
integral -3xdx = -3 ln|x|
Como mu(x) = e^-3 ln|x| = |x|^-3 está no denominador e estamos trabalhando com funções contínuas, podemos simplificar para:
x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante para tornar o lado esquerdo uma derivada:
x^-3 dydx - 3xx^-3y = x^3x^-3
Simplificando:
x^-3 dydx - 3x^-4y = 1
O lado esquerdo agora é a derivada de y cdot mu(x):
ddx(x^-3y) = 1

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddx(x^-3y) dx = integral 1 dx
O lado esquerdo simplifica para x^-3y:
x^-3y = x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Resolvemos para y multiplicando ambos os lados por x^3:
y = x^4 + Cx^3

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = x^4 + Cx^3

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