A equação da forma
(1) reduz-se a variáveis separáveis fazendo
. Calculando
e substituindo
em (1). Fazendo esta mudança de variável resolva as seguintes equações diferenciais.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que a resolvamos usando a mudança de variável sugerida na introdução: para equações da forma
fazer
. Informação relevante fornecida: aqui
,
,
. O objetivo é encontrar a solução geral
.
Passo 2
Fazemos a mudança de variável indicada: definimos
Isto é uma nova função
construída a partir de
e
. Agora vamos calcular
(derivada de
em relação a
) para relacioná-la com
. Como
, derivando cada termo obtemos
Portanto
Passo 3
Agora usamos a equação original
. Observando que
é exatamente
, substituímos
por
. Assim:
Então a equação para
é
Passo 4
A equação obtida é separável: todas as ocorrências de
ficam num lado e
no outro. Escrevemos
Explicando: “separável” significa que podemos escrever a diferencial como uma função de
multiplicada por
igual a uma função de
multiplicada por
, permitindo integrar ambos os lados.
Passo 5
Integramos os dois lados. Sabendo que a derivada de
é
, temos
onde
é a constante de integração. Aqui expliquei a fórmula utilizada:
, por isso a integral do lado esquerdo é
.
Passo 6
Agora isolamos
. Aplicando a função tangente (inversa da arctangente) a ambos os lados obtemos
Observação sobre domínio:
tem assíntotas verticais para argumentos
; portanto cada solução está definida nas intervalos onde
é finita, isto é, entre as assíntotas. A constante
pode ser qualquer número real e determina o deslocamento dos intervalos.
Passo 7
Voltamos à variável original
. Lembre que definimos
. Substituindo
e resolvendo para
obtemos
Esta expressão representa a família geral de soluções reais da equação diferencial dada, válida nos intervalos onde
é finita.