A equação da forma y^{\prime}=f(a x+b y+c) (1) reduz-se a variáveis separáveis fazendo z=a x+ b y+c. Calculando z^{\prime}=a+b y^{\prime} e substituindo y^{\prime} em (1). Fazendo esta mudança de variável resolva as seguintes equações diferenciais.
y^{\prime}=(x+y+1)^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'=(x+y+1)^{2}
e pede que a resolvamos usando a mudança de variável sugerida na introdução: para equações da forma y'=f(ax+by+c) fazer z=ax+by+c. Informação relevante fornecida: aqui a=1, b=1, c=1. O objetivo é encontrar a solução geral y(x).

Passo 2

Fazemos a mudança de variável indicada: definimos
z = x + y + 1.
Isto é uma nova função z(x) construída a partir de x e y(x). Agora vamos calcular z' (derivada de z em relação a x) para relacioná-la com y'. Como z(x)=x+y(x)+1, derivando cada termo obtemos
z' = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(y(x)) + \frac{d}{dx}(1) = 1 + y' + 0.
Portanto
z' = 1 + y'.

Passo 3

Agora usamos a equação original y'=(x+y+1)^{2}. Observando que x+y+1 é exatamente z, substituímos y' por z^{2}. Assim:
z' = 1 + y' = 1 + z^{2}.
Então a equação para z é
\frac{dz}{dx} = 1 + z^{2}.

Passo 4

A equação obtida é separável: todas as ocorrências de z ficam num lado e x no outro. Escrevemos
\frac{dz}{1+z^{2}} = dx.
Explicando: “separável” significa que podemos escrever a diferencial como uma função de z multiplicada por dz igual a uma função de x multiplicada por dx, permitindo integrar ambos os lados.

Passo 5

Integramos os dois lados. Sabendo que a derivada de \arctan z é \dfrac{1}{1+z^{2}}, temos
\int \frac{dz}{1+z^{2}} = \int dx \quad\Rightarrow\quad \arctan z = x + C,
onde C é a constante de integração. Aqui expliquei a fórmula utilizada: \dfrac{d}{dz}\bigl(\arctan z\bigr)=\dfrac{1}{1+z^{2}}, por isso a integral do lado esquerdo é \arctan z.

Passo 6

Agora isolamos z. Aplicando a função tangente (inversa da arctangente) a ambos os lados obtemos
z = \tan(x + C).
Observação sobre domínio: \tan tem assíntotas verticais para argumentos \frac{\pi}{2} + k\pi; portanto cada solução está definida nas intervalos onde \tan(x+C) é finita, isto é, entre as assíntotas. A constante C pode ser qualquer número real e determina o deslocamento dos intervalos.

Passo 7

Voltamos à variável original y. Lembre que definimos z = x + y + 1. Substituindo z=\tan(x+C) e resolvendo para y obtemos
x + y + 1 = \tan(x + C)\quad\Rightarrow\quad y = \tan(x + C) - x - 1.
Esta expressão representa a família geral de soluções reais da equação diferencial dada, válida nos intervalos onde \tan(x+C) é finita.

Resposta

y(x)=\tan(x+C)-x-1

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