(a) Mostre que uma família de soluções a um parâmetro da equação
\left(4 x y+3 x^{2}\right) d x+\left(2 y+2 x^{2}\right) d y=0
é x^{3}+2 x^{2} y+y^{2}=c.
(b) Prove que as condições iniciais y(0)=-2 e y(1)=1 determinam a mesma solução implícita.
(c) Ache as soluções explícitas y_{1}(x) e y_{2}(x) da equação diferencial do item (a) dadas as condições y_{1}(0)=-2 e y_{2}(1)=1.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos:
  • Temos a equação diferencial na forma de 1‑forma
\left(4 x y+3 x^{2}\right)\,d x+\left(2 y+2 x^{2}\right)\,d y=0.
  • Pedidos:
    (a) Mostrar que uma família de soluções a um parâmetro é x^{3}+2 x^{2} y+y^{2}=c.
    (b) Verificar que as condições iniciais y(0)=-2 e y(1)=1 determinam a mesma solução implícita.
    (c) Achar as soluções explícitas y_{1}(x) e y_{2}(x) sujeitas a y_{1}(0)=-2 e y_{2}(1)=1.
  • Informação relevante: a equação está escrita como M(x,y)\,d x+N(x,y)\,d y=0 com M(x,y)=4xy+3x^{2},\qquad N(x,y)=2y+2x^{2}.

Passo 2

Verificar se a 1‑forma é exata e por quê.
  • Conceito rápido e útil: uma 1‑forma M(x,y)\,d x+N(x,y)\,d y é exata numa região se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que \partial\Phi/\partial x=M e \partial\Phi/\partial y=N. Uma condição prática suficiente (para funções M,N com derivadas contínuas) é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
  • Calculemos as derivadas parciais: \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(4xy+3x^{2}\big)=4x,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(2y+2x^{2}\big)=4x.
  • Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x=4x, a 1‑forma é exata. Logo existe \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M e \Phi_y=N.

Passo 3

Encontrar a função potencial \Phi(x,y) (método padrão).
  • Integramos M(x,y) em relação a x, tratando y como constante: \Phi(x,y)=\int\big(4xy+3x^{2}\big)\,dx.Detalhando a integral: \int 4xy\,dx = 4y\int x\,dx =4y\cdot\frac{x^{2}}{2}=2x^{2}y,
\int 3x^{2}\,dx = x^{3}.
Portanto, ao integrar obtemos
\Phi(x,y)=x^{3}+2x^{2}y+h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária (constante de integração dependente de y).
  • Agora usamos a condição \Phi_y=N. Calculemos \Phi_y a partir da expressão: \Phi_{y}=2x^{2}+h'(y).Igualando a N(x,y)=2y+2x^{2} temos 2x^{2}+h'(y)=2y+2x^{2}\quad\Rightarrow\quad h'(y)=2y.Integrando h'(y) em y: h(y)=\int 2y\,dy = y^{2}+ \text{const}.A constante pode ser absorvida na constante final da solução implícita, então tomamos h(y)=y^{2}.
  • Assim a função potencial é \Phi(x,y)=x^{3}+2x^{2}y+y^{2}.As soluções implícitas (níveis de \Phi) são x^{3}+2x^{2}y+y^{2}=c,com c constante arbitrária. Isso responde o item (a).

Passo 4

Verificar o item (b): as condições iniciais dão o mesmo c.
  • Avaliando \Phi no ponto (0,-2): \Phi(0,-2)=0^{3}+2\cdot0^{2}\cdot(-2)+(-2)^{2}=4.Então a constante associada a (0,-2) é c=4.
  • Avaliando \Phi no ponto (1,1): \Phi(1,1)=1^{3}+2\cdot1^{2}\cdot1+1^{2}=1+2+1=4.Também obtemos c=4. Conclusão: ambas as condições iniciais determinam a mesma solução implícita com c=4.

Passo 5

Encontrar as soluções explícitas y(x) (item (c)) — resolver a equação implícita para y e escolher ramos compatíveis com as condições.
  • Partimos da identificação da família com c=4: x^{3}+2x^{2}y+y^{2}=4.Tratamos isto como uma equação quadrática em y. Reescrevendo: y^{2}+2x^{2}y+(x^{3}-4)=0.Nesta quadrática, o coeficiente de y^{2} é 1, o coeficiente linear é 2x^{2}, e o termo constante é x^{3}-4.
  • Aplicando a fórmula quadrática para y: y=\frac{-2x^{2}\pm\sqrt{(2x^{2})^{2}-4\cdot1\cdot(x^{3}-4)}}{2}.Simplificando dentro da raiz e o denominador: y=-x^{2}\pm\sqrt{x^{4}-x^{3}+4}.
  • Agora escolhemos o sinal (o ramo) usando as condições iniciais.
    • Para y_{1} com y_{1}(0)=-2: avalie em x=0: y(0)=-0^{2}\pm\sqrt{0-0+4}=\pm 2.Para obter y(0)=-2 devemos escolher o sinal negativo. Assim y_{1}(x)=-x^{2}-\sqrt{x^{4}-x^{3}+4}.
    • Para y_{2} com y_{2}(1)=1: avalie em x=1: y(1)=-1\pm\sqrt{1-1+4}=-1\pm 2.As opções são 1 (com sinal +) ou -3 (com sinal −). Para ter y(1)=1 escolhemos o sinal positivo. Assim y_{2}(x)=-x^{2}+\sqrt{x^{4}-x^{3}+4}.
  • Observação prática: ambos os ramos pertencem à mesma curva implícita x^{3}+2x^{2}y+y^{2}=4; a condição inicial fixa qual ramo (sinal) é usado.

Resposta

(a) x^{3}+2x^{2}y+y^{2}=c
(b) As duas condições dão c=4, portanto determinam a mesma solução implícita x^{3}+2x^{2}y+y^{2}=4
(c) y_{1}(x)=-x^{2}-\sqrt{x^{4}-x^{3}+4}
y_{2}(x)=-x^{2}+\sqrt{x^{4}-x^{3}+4}

Exercícios relacionados