(a) Mostre que uma família de soluções a um parâmetro da equação
é
.
(b) Prove que as condições iniciais
e
determinam a mesma solução implícita.
(c) Ache as soluções explícitas
e
da equação diferencial do item (a) dadas as condições
e
.
(b) Prove que as condições iniciais
(c) Ache as soluções explícitas
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos:
- Temos a equação diferencial na forma de 1‑forma
- Pedidos:
(a) Mostrar que uma família de soluções a um parâmetro é.
(b) Verificar que as condições iniciaise determinam a mesma solução implícita.
(c) Achar as soluções explícitase sujeitas a e . - Informação relevante: a equação está escrita como
com
Passo 2
Verificar se a 1‑forma é exata e por quê.
- Conceito rápido e útil: uma 1‑forma
é exata numa região se existe uma função potencial tal que e . Uma condição prática suficiente (para funções com derivadas contínuas) é
- Calculemos as derivadas parciais:
- Como
, a 1‑forma é exata. Logo existe tal que e .
Passo 3
Encontrar a função potencial
(método padrão).
- Integramos
em relação a , tratando como constante: Detalhando a integral:
Portanto, ao integrar obtemos
onde
é uma função arbitrária (constante de integração dependente de
).
- Agora usamos a condição
. Calculemos a partir da expressão: Igualando a temos Integrando em : A constante pode ser absorvida na constante final da solução implícita, então tomamos . - Assim a função potencial é
As soluções implícitas (níveis de ) são com constante arbitrária. Isso responde o item (a).
Passo 4
Verificar o item (b): as condições iniciais dão o mesmo
.
- Avaliando
no ponto : Então a constante associada a é . - Avaliando
no ponto : Também obtemos . Conclusão: ambas as condições iniciais determinam a mesma solução implícita com .
Passo 5
Encontrar as soluções explícitas
(item (c)) — resolver a equação implícita para
e escolher ramos compatíveis com as condições.
- Partimos da identificação da família com
: Tratamos isto como uma equação quadrática em . Reescrevendo: Nesta quadrática, o coeficiente de é , o coeficiente linear é , e o termo constante é . - Aplicando a fórmula quadrática para
: Simplificando dentro da raiz e o denominador: - Agora escolhemos o sinal (o ramo) usando as condições iniciais.
- Para
com : avalie em : Para obter devemos escolher o sinal negativo. Assim - Para
com : avalie em : As opções são (com sinal +) ou (com sinal −). Para ter escolhemos o sinal positivo. Assim
- Para
- Observação prática: ambos os ramos pertencem à mesma curva implícita
; a condição inicial fixa qual ramo (sinal) é usado.
Resposta
(a)
(b) As duas condições dão
, portanto determinam a mesma solução implícita
(c)