Resolva as seguintes equações:
31. y^{\prime}=\frac{y^{2}-2 x y}{x^{2}}
Passo 1
O que o enunciado pede: resolver a equação diferencial de primeira ordem
y'=\frac{y^{2}-2xy}{x^{2}}.
Informações relevantes dadas:
\text{a equação envolve }y'\text{ (derivada de }y\text{ em relação a }x\text{) e termos com }x^{-2}.
Observação importante: a equação está escrita com divisão por x^{2}, portanto não podemos tomar x=0 no domínio onde a equação é válida.
Passo 2
Identificar uma boa mudança de variável: note que o membro direito pode ser escrito em função da razão \dfrac{y}{x} — isto é, os termos têm o mesmo grau em x e y. Nesses casos a substituição
y = x\,u(x)
é uma escolha natural (aqui u(x) é uma nova função desconhecida). Vou explicar por que: se y=xu, então \dfrac{y}{x}=u e o membro direito fica uma função apenas de u, o que geralmente simplifica para uma equação separável.
Calcule a derivada y' em termos de u:
y' = \frac{d}{dx}(x u(x)) = u + x u'.
Agora substituímos y e y' na equação original.
Passo 3
Substituindo na equação:
u + x u' = \frac{(x u)^{2} - 2x(x u)}{x^{2}}.
Simplificando o lado direito:
\frac{x^{2}u^{2} - 2x^{2}u}{x^{2}} = u^{2} - 2u.
Portanto obtemos a equação para u:
u + x u' = u^{2} - 2u.
Isolando u':
x u' = u^{2} - 3u.
Sempre que uma equação fica dessa forma podemos separar variáveis: escrevemos
\frac{du}{u^{2}-3u}=\frac{dx}{x}.
Passo 4
Resolver a integral no lado esquerdo usando frações parciais. Primeiro fatoramos o denominador:
u^{2}-3u = u(u-3).
Queremos decompor
\frac{1}{u(u-3)}=\frac{A}{u}+\frac{B}{u-3}.
Calculando A e B: A(u-3)+Bu=1 para todo u. Igualando coeficientes,
Resolver a expressão anterior para u. Multiplicando por 3 e exponenciando:
\ln\left|\frac{u-3}{u}\right|=3\ln|x|+3C
\left|\frac{u-3}{u}\right|=e^{3C}|x|^{3}.
Absorvendo o sinal e a constante numa constante arbitrária K (que pode ser qualquer número real não-nulo, incluindo sinal),
\frac{u-3}{u}=K x^{3}.
Isolando u:
u-3 = K x^{3} u \quad\Rightarrow\quad u(1-Kx^{3})=3
u=\frac{3}{1-Kx^{3}},
onde K é constante arbitrária (pode ser 0). Lembre que u=\dfrac{y}{x}, então voltamos para y.
Passo 6
Voltando para y:
\frac{y}{x}=u=\frac{3}{1-Kx^{3}}
y=\frac{3x}{1-Kx^{3}}.
Condições sobre o domínio: x\neq 0 (pela equação original) e 1-Kx^{3}\neq 0 para a fórmula acima ser válida. Além disso, existem soluções constantes que surgem na separação quando o denominador u(u-3) é zero: u=0 e u=3. Essas correspondem a soluções particulares:
u=0 \Rightarrow y\equiv 0,
u=3 \Rightarrow y=3x,
e y=3x é obtida na família geral com K=0. A solução y\equiv 0 não aparece para nenhum K finito na expressão \dfrac{3x}{1-Kx^{3}}, então deve ser indicada separadamente.
Passo 7
Verificação rápida (opcional): para y=\dfrac{3x}{1-Kx^{3}} calcular y' e substituir retorna a igualdade original (a verificação é um cálculo algébrico direto). Para y\equiv 0 e y=3x já verificamos que satisfazem a equação.