Uma equação que fornece a vazão em um canal aberto é dada por:
Q=k A R^2 / 3 S^1 / 2
Em que k é uma constante, A área do canal, R é um raio e S é uma inclinação. Determine as dimensões e as unidades SI de k.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a vazão num canal aberto obedece à fórmula
Q = k,A,R^2/3,S^1/2
A tarefa é descobrir as dimensões de k (ou seja, como ela se comporta em termos de comprimento e tempo) e suas unidades no SI. Vamos usar análise dimensional: saber o “tamanho” (dimensão) de cada variável pra isolar k.

Passo 2

Primeiro, identificamos as dimensões de cada grandeza:
  • Q (vazão) é volume por tempo, então [Q] = L^3,T^-1
    - A (área) é superfície, logo
    [A] = L^2
  • R (raio hidráulico) tem dimensão de comprimento, então [R] = LLongrightarrow[R]^2/3 = L^2/3
    - S (declividade) é razão de alturas por comprimento, é adimensional, ou seja
    [S] = 1Longrightarrow[S]^1/2 = 1

Passo 3

Agora reescrevemos a fórmula isolando k e tiramos as dimensões:
$$k = \frac{Q}{A,R{2/3},S{1/2}} \quad\Longrightarrow\quad
[k] = \frac{[Q]}{[A],[R]{2/3},[S]{1/2}}. k = QA,R^2/3,S^1/2 Longrightarrow [k] = [Q][A],[R]^2/3,[S]^1/2õ[k] = \frac{L3,T{-1}}{,L2;\cdot;L{2/3};\cdot;1,}
= L^{3 - 2 - 2/3};T^{-1} = L{1/3};T{-1}.$$

Passo 4

Finalmente, traduzimos isso para unidades do SI. Como L vira metro (m) e T segundo (s), temos:
[k] = m^1/3,s^-1

Resposta

As dimensões de k são L^1/3,T^-1 e suas unidades no SI são
boxedm^1/3,s^-1

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