A expressão abaixo representa a perda de carga em um tubo horizontal de diâmetro D e comprimento L ,
hL=1,04 Q^2 Lg D^5ln [varepsilon3.7 D+4,62(mu Drho Q)^0.9]^-2
Em que varepsilon é o comprimento da rugosidade, hL é altura equivalente do fluido, Q é a vazão volumétrica, mu é a viscosidade dinâmica e rho é a massa específica. As constantes 1,04; 3,7 e 4,64 tem dimensão?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos essa fórmula que dá a perda de carga num tubo horizontal:
hL ;=; 1,04 ,Q^2 ,Lg,D^5;gllnl[varepsilon3,7,D;+;4,62l(mu,Drho,Qr)^0,9r]gr^-2
A pergunta é: “As constantes 1,04; 3,7 e 4,62 têm dimensão (unidades) ou não?”
Para resolver, vamos usar Análise Dimensional:
  1. Verificar a dimensão de cada termo fora do ln e ver se o coeficiente 1,04 precisa de unidade.
  2. Lembrar que dentro de um logaritmo só entra grandeza adimensional, então cada pedacinho dentro do ln tem que dar sem unidade – assim a gente descobre se 3,7 e 4,62 precisam de dimensão.

Passo 2

Primeiro, vê a parte fora do log:
Q^2,Lg,D^5
– Q é vazão volumétrica, [Q] = L³ T⁻¹.
– L tem dimensão de comprimento, [L] = L.
– g (gravidade) é L T⁻².
– D⁵ é L⁵.
Logo
[Q^2L] = (L^3T^-1)^2,L = L^7T^-2, [g,D^5] = (L,T^-2),(L^5) = L^6T^-2
Dividindo dá [L]. Como hₗ é altura (também [L]), esse quociente já entrega o mesmo dimensão de hₗ.
Então o “1,04” é só um número puro – não carrega unidade.

Passo 3

Agora, olha dentro do ln:
varepsilon3,7,D ;+; 4,62l(mu,Drho,Qr)^0,9
Para o ln ser válido, esse conjunto tem de ser adimensional.
  1. Primeiro termo: ε e D são ambos comprimentos [L], então ε/D dá L/L = sem dimensão.
    – Para que ε/(3,7 D) seja sem dimensão, 3,7 também tem que ser sem dimensão.
  2. Segundo termo:
    – μ (viscosidade dinâmica) é [M L⁻¹ T⁻¹],
    – D é [L],
    – ρ (densidade) é [M L⁻³],
    – Q é [L³ T⁻¹].
    Monta μ D/(ρ Q): [mu D] = [M,L^-1,T^-1],[L] = M,T^-1, [rho,Q] = [M,L^-3],[L^3T^-1] = M,T^-1 Então μ D/(ρ Q) = (M T⁻¹)/(M T⁻¹) = sem dimensão.
    Elevando a 0,9 continua sem dimensão.
    Para o produto 4,62·(…)^{0,9} ser sem dimensão, 4,62 também tem que ser sem dimensão.

Resposta

Todas as constantes 1,04; 3,7 e 4,62 são adimensionais.

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