A equação \frac{d y}{d t}+P y=Q y^{n}, onde P=P(x), Q=Q(x) são funções e n \in \mathbb{Z}^{+}, é dita equação de Bernoulli. Quando n=0 ou n=1, usando os métodos visto no curso fácilmente obtemos um método de solução.
Note que se y \neq 0, então a EDO acima pode ser escrita da forma:
y^{-n} \frac{d y}{d t}+P y^{1-n}=Q .
Fazendo v=y^{1-n} para n \neq 0 e n \neq 1, teremos:
\frac{d v}{d t}=(1-n) y^{-n} \frac{d y}{d t} .
Multiplicando a EDO (1), obtemos
(1-n) y^{-n} \frac{d y}{d t}+(1-n) P y^{1-n}=(1-n) Q, que pode ser reescrita como uma EDO linear dada na forma
\frac{d v}{d t}+(1-n) P v=(1-n) Q .
Use o método anterior para resolver as EDOs a seguir:
(b) y^{\prime}=r y-k y^{2}, r>0 e k>0. Esta equação aparece em problemas de dinâmica populacional.

Passo 1

Temos a EDO
y' = r\,y - k\,y^2,\quad r>0,\;k>0,
que é do tipo de Bernoulli com n=2. Para compará-la à forma
y' + P(t)\,y = Q(t)\,y^n
escrevemos
y' - r\,y = -\,k\,y^2,
o que mostra
P(t) = -r,\quad Q(t) = -k,\quad n=2.

Passo 2

Como n\neq1 e y\neq0, fazemos a substituição típica de Bernoulli
v = y^{1-n} = y^{-1}.
Vamos obter uma EDO linear para v(t).

Passo 3

Calculamos \dfrac{dv}{dt} em função de y:
\frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(y^{-1}\bigr) = -\,y^{-2}\,\frac{dy}{dt}.
Como \dfrac{dy}{dt}=y', temos
\frac{dv}{dt} = -\,\frac{y'}{y^2}.

Passo 4

Substituímos y' da EDO original em \frac{dv}{dt}:
\frac{dv}{dt} = -\frac{r\,y - k\,y^2}{y^2} = -\frac{r}{y} + k = -\,r\,v + k.
Reordenando, obtemos a EDO linear
\frac{dv}{dt} + r\,v = k.

Passo 5

Para resolver
\frac{dv}{dt} + r\,v = k
usamos fator integrante \mu(t)=e^{\int r\,dt}=e^{rt}. Multiplicando por \mu:
\frac{d}{dt}\bigl(v\,e^{rt}\bigr) = k\,e^{rt}.
Integrando ambos os lados:
v\,e^{rt} = \int k\,e^{rt}\,dt = \frac{k}{r}\,e^{rt} + C,
onde C é constante arbitrária. Logo
v(t) = \frac{k}{r} + C\,e^{-rt}.

Passo 6

Voltando a y pela definição v=y^{-1}, temos
y(t) = \frac{1}{v(t)} = \frac{1}{\displaystyle \frac{k}{r} + C\,e^{-rt}} = \frac{r}{\,k + C\,r\,e^{-rt}\,}.
Renomeando C\,r\mapsto C (constante nova), a solução geral fica
\boxed{y(t) = \frac{r}{\,k + C\,e^{-r t}\,},\quad C\in\mathbb{R}.}

Resposta

y(t) = \frac{r}{\,k + C\,e^{-r t}\,},\quad C\in\mathbb{R}.

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