A equação
, onde
são funções e
, é dita equação de Bernoulli. Quando
ou
, usando os métodos visto no curso fácilmente obtemos um método de solução.
Note que se
, então a EDO acima pode ser escrita da forma:
Fazendo
para
e
, teremos:
Multiplicando a EDO (1), obtemos
, que pode ser reescrita como uma EDO linear dada na forma
Use o método anterior para resolver as EDOs a seguir:
(b)
e
. Esta equação aparece em problemas de dinâmica populacional.
Note que se
(b)
Passo 1
Temos a EDO
que é do tipo de Bernoulli com
. Para compará-la à forma
escrevemos
o que mostra
Passo 2
Como
e
, fazemos a substituição típica de Bernoulli
Vamos obter uma EDO linear para
.
Passo 3
Calculamos
em função de
:
Como
, temos
Passo 4
Substituímos
da EDO original em
:
Reordenando, obtemos a EDO linear
Passo 5
Para resolver
usamos fator integrante
. Multiplicando por
:
Integrando ambos os lados:
onde
é constante arbitrária. Logo
Passo 6
Voltando a
pela definição
, temos
Renomeando
(constante nova), a solução geral fica