Uma bola é lançada verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 39,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(a) Qual será a sua velocidade após 2,4 e 6 s ?.
(b) Qual será o tempo de retorno a sua posição inicial ?
(c) Qual será a altura máxima atingida antes de voltar?
Neste caso, x=x(t) representa a posição da bola (no sentido vertical) em qualquer instante t e temos que x(0)=0. A bola está submetida a uma força, seu peso, igual a -m g (para baixo). Como v=d x / d t, o problema de valor inicial é
m \frac{d v}{d t}=-m g, \quad \text { ou } \quad \frac{d v}{d t}=-g, \quad v(0)=39,2
Integrando, obtemos v(t)=-g t+c_{1}. A condição v(0)=39,2 implica c_{1}=39,2. Assim v(t)=-g t+39,2=-9,8 t+39,2.
Integrando novamente, obtemos x(t)=-\frac{1}{2} g t^{2}+39,2 t+c_{2}. Dado que x(0)=0, então c_{2}=0 e assim x(t)=-\frac{1}{2} g t^{2}+39,2 t=-4,9 t^{2}+39,2 t.
(a) Velocidades após de 2,4,6 segundos: Como v(t)=-9,8 t+39,2, então
v(2)=19,9 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, é velocidade com que a bola está subindo.
v(4)=0, ou seja, a bola parou de subir.
v(6)=-19,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, é a velocidade com que a bola está descendo logo que parou de subir.
(b) Tempo de retorno a sua posição inicial: Isto se verifica quando -4,9 t^{2}+39,2 t= t(-4,9 t+39,2)=0. Segue que t=0 ou t=8. O valor t=0 é o trivial pois x(0)=0. Assim, a bola demora t=8 \mathrm{seg}. para voltar a sua posição inicial.

Passo 1

O enunciado trata de uma bola lançada verticalmente para cima com velocidade inicial de 39,2, \mathrm{m/s}, sujeita apenas ao peso -mg. Precisamos usar a EDO de primeira ordem
m\frac{dv}{dt}=-mg
com as condições iniciais v(0)=39,2 e x(0)=0, para obter v(t) e x(t). Depois calculamos
(a) v(2), v(4) e v(6);
(b) o tempo em que x(t)=0 além de t=0;
(c) a altura máxima, achando primeiro t tal que v(t)=0 e depois x(t).

Passo 2

Integrando \frac{dv}{dt}=-g (com g=9,8, \mathrm{m/s^2}) obtemos
v(t)=-g\,t+C_{1}.
Como v(0)=39,2, segue C_{1}=39,2 e
v(t)=-9,8\,t+39,2.
Integrando de novo v=d x/dt
x(t)=-\tfrac12\,g\,t^2+39,2\,t+C_{2},
e como x(0)=0 vem C_{2}=0, logo
x(t)=-4,9\,t^2+39,2\,t.

Passo 3

Para v(t)=-9,8\,t+39,2:
v(2)=-9,8\cdot2+39,2=19,6\quad(\mathrm{m/s}),
v(4)=-9,8\cdot4+39,2=0\quad(\mathrm{m/s}),
v(6)=-9,8\cdot6+39,2=-19,6\quad(\mathrm{m/s}).

Passo 4

Para achar o tempo de retorno à posição inicial, resolvemos
x(t)=-4,9\,t^2+39,2\,t=0 \quad\Longrightarrow\quad t\bigl(-4,9\,t+39,2\bigr)=0.
As soluções são t=0 e t=39,2/4,9=8,s. A bola retorna em t=8,s.

Passo 5

A altura máxima ocorre quando v(t)=0, isto é,
-9,8\,t+39,2=0\quad\Longrightarrow\quad t=4\\ \mathrm{s}.
Substituindo em x(t):
x(4)=-4,9\cdot4^2+39,2\cdot4=78,4\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) v(2)=19,6, \mathrm{m/s}, v(4)=0, \mathrm{m/s}, v(6)=-19,6, \mathrm{m/s}.
(b) Tempo de retorno t=8,s.
(c) Altura máxima H_{\max}=78,4,m.

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