Uma bola é lançada verticalmente para cima com uma velocidade inicial de
.
(a) Qual será a sua velocidade após
?.
(b) Qual será o tempo de retorno a sua posição inicial ?
(c) Qual será a altura máxima atingida antes de voltar?
Neste caso,
representa a posição da bola (no sentido vertical) em qualquer instante
e temos que
. A bola está submetida a uma força, seu peso, igual a
(para baixo). Como
, o problema de valor inicial é
Integrando, obtemos
. A condição
implica
. Assim
.
Integrando novamente, obtemos
. Dado que
, então
e assim
.
(a) Velocidades após de
segundos: Como
, então
, é velocidade com que a bola está subindo.
, ou seja, a bola parou de subir.
, é a velocidade com que a bola está descendo logo que parou de subir.
(b) Tempo de retorno a sua posição inicial: Isto se verifica quando
. Segue que
ou
. O valor
é o trivial pois
. Assim, a bola demora
. para voltar a sua posição inicial.
(a) Qual será a sua velocidade após
(b) Qual será o tempo de retorno a sua posição inicial ?
(c) Qual será a altura máxima atingida antes de voltar?
(a) Velocidades após de
(b) Tempo de retorno a sua posição inicial: Isto se verifica quando
Passo 1
O enunciado trata de uma bola lançada verticalmente para cima com velocidade inicial de
,
, sujeita apenas ao peso
. Precisamos usar a EDO de primeira ordem
com as condições iniciais
e
, para obter
e
. Depois calculamos
(a) ,
e
;
(b) o tempo em que além de
;
(c) a altura máxima, achando primeiro tal que
e depois
.
(a)
(b) o tempo em que
(c) a altura máxima, achando primeiro
Passo 2
Integrando
(com
,
) obtemos
Como
, segue
e
Integrando de novo
dá
e como
vem
, logo
Passo 3
Para
:
Passo 4
Para achar o tempo de retorno à posição inicial, resolvemos
As soluções são
e
,s. A bola retorna em
,s.
Passo 5
A altura máxima ocorre quando
, isto é,
Substituindo em
:
Resposta
(a)
,
,
,
,
,
.
(b) Tempo de retorno ,s.
(c) Altura máxima ,m.
(b) Tempo de retorno
(c) Altura máxima