Se o circuito elétrico é formado por uma força eletromotriz E, um resistor R e uma indutância L, segundo a lei de Kirchhoff, temos a equação diferencial
L \frac{d I}{d t}+R I=E .
Se um gerador, cuja força eletromotriz é E=100 volts é conectado em série com um resistor de R=10 ohms e uma indutância L=2 henrys. Sabendo que o interruptor fecha quando t=0, determine I(t).

Passo 1

O enunciado apresenta um circuito RL em série com uma fonte constante E, um resistor R e uma indutância L. Quando o interruptor fecha em t=0, a corrente I(t) satisfaz a equação diferencial linear de primeira ordem dada pela lei de Kirchhoff:
L \frac{dI}{dt} + R\,I = E.
O conteúdo da matéria é resolução de equações diferenciais lineares de 1ª ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar reescrever a equação na forma padrão, achar a solução homogênea, uma solução particular e aplicar a condição inicial física I(0)=0.

Passo 2

Antes de tudo, determinamos a condição inicial. Como o circuito ficou aberto por muito tempo antes de t=0, não havia corrente fluindo, logo
I(0)=0.

Passo 3

Dividimos toda a equação por L para colocá-la na forma padrão
\frac{dI}{dt} + \frac{R}{L}\,I = \frac{E}{L}.
Substituindo R=10, L=2 e E=100, obtemos
\frac{dI}{dt} + 5\,I = 50.

Passo 4

A solução geral dessa equação é a soma da solução da homogênea e de uma particular. Primeiro, a homogênea satisfa z
\frac{dI_h}{dt} + 5\,I_h = 0,
cuja solução é
I_h(t) = C\,e^{-5t},
onde C é constante a determinar.

Passo 5

Agora buscamos uma solução particular constante I_p. Se I_p é constante, então \frac{dI_p}{dt}=0, e a equação vira
5\,I_p = 50 \quad\Longrightarrow\quad I_p = 10.

Passo 6

A solução geral é
I(t) = I_h(t) + I_p = C\,e^{-5t} + 10.
Usando a condição inicial I(0)=0
0 = C\,e^{0} + 10 \quad\Longrightarrow\quad C = -10.

Passo 7

Portanto, a corrente para t\ge0 é
I(t) = 10 - 10\,e^{-5t} = 10\bigl(1 - e^{-5t}\bigr)\quad(\text{ampères}).è

Resposta

I(t) = 10\bigl(1 - e^{-5t}\bigr)\text{ A},\quad t\ge0.

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