Se o circuito elétrico é formado por uma força eletromotriz
, um resistor
e uma indutância
, segundo a lei de Kirchhoff, temos a equação diferencial
Se um gerador, cuja força eletromotriz é
volts é conectado em série com um resistor de
ohms e uma indutância
henrys. Sabendo que o interruptor fecha quando
, determine
.
Passo 1
O enunciado apresenta um circuito RL em série com uma fonte constante
, um resistor
e uma indutância
. Quando o interruptor fecha em
, a corrente
satisfaz a equação diferencial linear de primeira ordem dada pela lei de Kirchhoff:
O conteúdo da matéria é resolução de equações diferenciais lineares de 1ª ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar reescrever a equação na forma padrão, achar a solução homogênea, uma solução particular e aplicar a condição inicial física
.
Passo 2
Antes de tudo, determinamos a condição inicial. Como o circuito ficou aberto por muito tempo antes de
, não havia corrente fluindo, logo
Passo 3
Dividimos toda a equação por
para colocá-la na forma padrão
Substituindo
,
e
, obtemos
Passo 4
A solução geral dessa equação é a soma da solução da homogênea e de uma particular. Primeiro, a homogênea satisfa z
cuja solução é
onde
é constante a determinar.
Passo 5
Agora buscamos uma solução particular constante
. Se
é constante, então
, e a equação vira
Passo 6
A solução geral é
Usando a condição inicial
dá
Passo 7
Portanto, a corrente para
é