A equação
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=c^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \
onde c é uma constante positiva, é chamada equação de onda. Sejam f e g funções difernciáveis de uma variável. \
(a)Mostre que u(x, y)=f(x+c t) e v(x, t)=g(x-c t) satisfazem a equação da onda. \
(b)Mostre que uma função da forma \varphi(x, y)=f(x+ c t)+g(x-c t) satisfaz a equação da onda. \
(c)Confirme que \varphi(x, t)=\operatorname{sen}(t) \operatorname{sen}(x) satisfaz a equação da onda \operatorname{com} \mathrm{c}=1, e então use identidades trigonométricas apropriadas para expressar essa função na forma $f(x+t)+g(x-t).

Passo 1

O enunciado fornece a equação da onda
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=c^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}},
onde c>0 é uma constante. Foram dadas funções f e g (diferenciáveis de uma variável) e pedem-se três coisas:
(a) Mostrar que u(x,t)=f(x+ct) e v(x,t)=g(x-ct) satisfazem a equação da onda.
(b) Mostrar que qualquer função da forma \varphi(x,t)=f(x+ct)+g(x-ct) satisfaz a equação da onda.
(c) Confirmar que \varphi(x,t)=\sin t\sin x satisfaz a equação da onda com c=1 e então escrever essa função na forma f(x+t)+g(x-t) usando identidades trigonométricas.
Todas as informações relevantes estão acima: a equação diferencial parcial, a constante c e as formas propostas para u,v,\varphi.

Passo 2

Vamos lembrar (e aprender) a regra da cadeia para derivadas: se F(s) é uma função de uma variável e s=h(x,t) depende de x e t, então a derivada parcial de F(h(x,t)) em relação a x é
\frac{\partial}{\partial x}F(h(x,t))=F'(h(x,t))\cdot\frac{\partial h}{\partial x},
onde F' é a derivada usual de F. Para a derivada em relação a t,
\frac{\partial}{\partial t}F(h(x,t))=F'(h(x,t))\cdot\frac{\partial h}{\partial t}.
Se quisermos a segunda derivada, aplicamos a regra da cadeia de novo. Este é o procedimento que usaremos para u(x,t)=f(x+ct): aqui h(x,t)=x+ct.

Passo 3

Calculemos as derivadas de u(x,t)=f(x+ct) passo a passo (usando a regra da cadeia).
Primeira derivada em relação a x:
\frac{\partial u}{\partial x}=f'(x+ct)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x+ct)=f'(x+ct)\cdot 1=f'(x+ct).
Segunda derivada em relação a x:
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\big(f'(x+ct)\big)=f''(x+ct)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x+ct)=f''(x+ct).
Agora as derivadas em relação a t. Primeira derivada em t:
\frac{\partial u}{\partial t}=f'(x+ct)\cdot\frac{\partial}{\partial t}(x+ct)=f'(x+ct)\cdot c= c\,f'(x+ct).
Segunda derivada em t:
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=\frac{\partial}{\partial t}\big(c\,f'(x+ct)\big)=c\cdot f''(x+ct)\cdot\frac{\partial}{\partial t}(x+ct)=c\cdot f''(x+ct)\cdot c=c^{2}f''(x+ct).

Passo 4

Compare as segundas derivadas encontradas:
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=c^{2}f''(x+ct) \quad\text{e}\quad c^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=c^{2}f''(x+ct).
Como os dois lados são iguais, obtemos
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=c^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}},
ou seja, u(x,t)=f(x+ct) satisfaz a equação da onda. A mesma conta vale para v(x,t)=g(x-ct): aqui o argumento é x-ct, cuja derivada em t é -c, portanto
\frac{\partial^{2} v}{\partial t^{2}}=(-c)^{2}g''(x-ct)=c^{2}g''(x-ct)=c^{2}\frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}},
mostrando que v também satisfaz a equação.

Passo 5

Agora (b): mostremos que a soma de duas soluções é solução (princípio da superposição, decorrente da linearidade do operador diferencial). Defina \varphi(x,t)=f(x+ct)+g(x-ct). Pelo que já calculamos:
\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\big(f(x+ct)\big)=c^{2}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\big(f(x+ct)\big) \quad\text{e}\quad \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\big(g(x-ct)\big)=c^{2}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\big(g(x-ct)\big).
Como derivação é linear, a segunda derivada da soma é a soma das segundas derivadas. Portanto
\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}}= \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}(f(x+ct))+\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}(g(x-ct)) =c^{2}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}(f(x+ct))+c^{2}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}(g(x-ct)) =c^{2}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x^{2}}.
Assim \varphi satisfaz a equação da onda.

Passo 6

Para (c) primeiro verificamos diretamente que \varphi(x,t)=\sin t\sin x satisfaz a equação da onda com c=1. Calcule:
\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}}=\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}(\sin t\sin x)=\frac{\partial}{\partial t}(\cos t\sin x)=-\sin t\sin x,
pois \sin x é constante quando derivamos em t. Agora a derivada segunda em x:
\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}(\sin t\sin x)=\sin t\cdot\frac{d^{2}}{dx^{2}}(\sin x)=\sin t\cdot(-\sin x)=-\sin t\sin x.
Portanto
\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}}=\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x^{2}},
isto é, \varphi satisfaz a equação da onda com c=1.

Passo 7

Agora escrevemos \varphi na forma f(x+t)+g(x-t). Use a identidade trigonométrica
\sin A\sin B=\tfrac{1}{2}\big(\cos(A-B)-\cos(A+B)\big).
Tomando A=t e B=x obtemos
\sin t\sin x=\tfrac{1}{2}\big(\cos(t-x)-\cos(t+x)\big).
Como \cos(t-x)=\cos(x-t) (coseno é função par), podemos escrever
\sin t\sin x=\tfrac{1}{2}\cos(x-t)-\tfrac{1}{2}\cos(x+t).
Isto é exatamente da forma g(x-t)+f(x+t) com, por exemplo,
g(s)=\tfrac{1}{2}\cos s,\qquad f(s)=-\tfrac{1}{2}\cos s.
Assim \varphi(x,t)=f(x+t)+g(x-t) com essas escolhas de f e g.

Resposta

(a) u(x,t)=f(x+ct) e v(x,t)=g(x-ct) satisfazem \displaystyle \frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}=c^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}.\n(b) \varphi(x,t)=f(x+ct)+g(x-ct) satisfaz a equação da onda \displaystyle \frac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}}=c^{2}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x^{2}}.\n(c) \varphi(x,t)=\sin t\sin x satisfaz a equação da onda com c=1, e pode ser escrita como \displaystyle \varphi(x,t)=f(x+t)+g(x-t) com f(s)=-\tfrac{1}{2}\cos s e g(s)=\tfrac{1}{2}\cos s.

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