A equação
\
onde c é uma constante positiva, é chamada equação de onda. Sejam f e g funções difernciáveis de uma variável. \
(a)Mostre que
e
satisfazem a equação da onda. \
(b)Mostre que uma função da forma
satisfaz a equação da onda. \
(c)Confirme que
satisfaz a equação da onda
, e então use identidades trigonométricas apropriadas para expressar essa função na forma $f(x+t)+g(x-t).
(a)Mostre que
(b)Mostre que uma função da forma
(c)Confirme que
Passo 1
O enunciado fornece a equação da onda
onde
é uma constante. Foram dadas funções
e
(diferenciáveis de uma variável) e pedem-se três coisas:
(a) Mostrar que e
satisfazem a equação da onda.
(b) Mostrar que qualquer função da forma satisfaz a equação da onda.
(c) Confirmar que satisfaz a equação da onda com
e então escrever essa função na forma
usando identidades trigonométricas.
Todas as informações relevantes estão acima: a equação diferencial parcial, a constante e as formas propostas para
.
(a) Mostrar que
(b) Mostrar que qualquer função da forma
(c) Confirmar que
Todas as informações relevantes estão acima: a equação diferencial parcial, a constante
Passo 2
Vamos lembrar (e aprender) a regra da cadeia para derivadas: se
é uma função de uma variável e
depende de
e
, então a derivada parcial de
em relação a
é
onde
é a derivada usual de
. Para a derivada em relação a
,
Se quisermos a segunda derivada, aplicamos a regra da cadeia de novo. Este é o procedimento que usaremos para
: aqui
.
Passo 3
Calculemos as derivadas de
passo a passo (usando a regra da cadeia).
Primeira derivada em relação a :
Primeira derivada em relação a
Segunda derivada em relação a
:
Agora as derivadas em relação a
. Primeira derivada em
:
Segunda derivada em
:
Passo 4
Compare as segundas derivadas encontradas:
Como os dois lados são iguais, obtemos
ou seja,
satisfaz a equação da onda. A mesma conta vale para
: aqui o argumento é
, cuja derivada em
é
, portanto
mostrando que
também satisfaz a equação.
Passo 5
Agora (b): mostremos que a soma de duas soluções é solução (princípio da superposição, decorrente da linearidade do operador diferencial). Defina
. Pelo que já calculamos:
Como derivação é linear, a segunda derivada da soma é a soma das segundas derivadas. Portanto
Assim
satisfaz a equação da onda.
Passo 6
Para (c) primeiro verificamos diretamente que
satisfaz a equação da onda com
. Calcule:
pois
é constante quando derivamos em
. Agora a derivada segunda em
:
Portanto
isto é,
satisfaz a equação da onda com
.
Passo 7
Agora escrevemos
na forma
. Use a identidade trigonométrica
Tomando
e
obtemos
Como
(coseno é função par), podemos escrever
Isto é exatamente da forma
com, por exemplo,
Assim
com essas escolhas de
e
.
Resposta
(a)
e
satisfazem
.\n(b)
satisfaz a equação da onda
.\n(c)
satisfaz a equação da onda com
, e pode ser escrita como
com
e
.