João contou os
números inteiros de 1 a 2025 que são múltiplos simultâneos de 2 e de 3 , mas que não são múltiplos de 8 .
valor de
é:
(A) 337 ;
(B) 253 ;
(C) 168;
(D) 84;
(E) 42 .
(A) 337 ;
(B) 253 ;
(C) 168;
(D) 84;
(E) 42 .
Passo 1
O enunciado pede para contar quantos números inteiros entre
e
satisfazem duas condições: são múltiplos simultâneos de
e de
e, ao mesmo tempo, não são múltiplos de
.
Dados relevantes do enunciado:
Dados relevantes do enunciado:
- intervalo considerado:
a ; - condição positiva: múltiplo de
e de ao mesmo tempo; - condição negativa: não ser múltiplo de
.
O objetivo é encontrar o númerode inteiros no intervalo que cumprem essas condições.
Passo 2
Primeiro passo técnico: identificar os números que são múltiplos simultâneos de
e de
.
Regra usada (explicação didática): um número é múltiplo de e de
ao mesmo tempo se e somente se for múltiplo do mínimo múltiplo comum (mmc, ou lcm em inglês) de
e
. Para calcular o mmc, fatoramos:
e
. O mmc toma cada fator na maior potência necessária, então o mmc é
. Logo, os números desejados inicialmente são exatamente os múltiplos de
.
Fórmula prática para contar múltiplos: o número de múltiplos de um inteiro no conjunto
é
, onde
é a função “parte inteira” (floor). Exemplo simples: até
, há
múltiplos de
(são
).
Regra usada (explicação didática): um número é múltiplo de
Fórmula prática para contar múltiplos: o número de múltiplos de um inteiro
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso para contar todos os múltiplos de
até
:
Calculando:
, então
.
Portanto existem números em
a
que são múltiplos de
(isto é, múltiplos de
e
simultaneamente).
Portanto existem
Passo 4
Agora precisamos excluir dentre esses os que são múltiplos de
— porque o problema pede que não sejam múltiplos de
. Mas atenção: queremos excluir apenas os números que são ao mesmo tempo múltiplos de
e de
. Um número que é múltiplo de ambos é múltiplo do mmc de
e
. Vamos calcular esse mmc (explicação didática):
- fatoração:
, . - mmc pega a maior potência de cada primo: para o primo
a maior potência entre e é ; para é . Assim o mmc é .
Logo, números múltiplos dee de simultaneamente são exatamente os múltiplos de .
Passo 5
Contamos agora quantos múltiplos de
existem em
a
usando a mesma fórmula:
Calculando:
, então
. Verificação rápida:
e
, então estão corretos
múltiplos de
.
Passo 6
Agora fazemos a subtração: dos
múltiplos de
devemos remover os
que são também múltiplos de
(ou seja, múltiplos de
). Assim
Interpretação final: existem
números entre
e
que são múltiplos de
e de
ao mesmo tempo e que não são múltiplos de
. Força aí — você já pegou a ideia: contar múltiplos com
e usar mmc para interseção é a técnica que cai direto na prova.
Resposta
253