João contou os N números inteiros de 1 a 2025 que são múltiplos simultâneos de 2 e de 3 , mas que não são múltiplos de 8 .
O valor de N é:
(A) 337 ;
(B) 253 ;
(C) 168;
(D) 84;
(E) 42 .

Passo 1

O enunciado pede para contar quantos números inteiros entre 1 e 2025 satisfazem duas condições: são múltiplos simultâneos de 2 e de 3 e, ao mesmo tempo, não são múltiplos de 8.
Dados relevantes do enunciado:
  • intervalo considerado: 1 a 2025;
  • condição positiva: múltiplo de 2 e de 3 ao mesmo tempo;
  • condição negativa: não ser múltiplo de 8.
    O objetivo é encontrar o número N de inteiros no intervalo que cumprem essas condições.

Passo 2

Primeiro passo técnico: identificar os números que são múltiplos simultâneos de 2 e de 3.
Regra usada (explicação didática): um número é múltiplo de 2 e de 3 ao mesmo tempo se e somente se for múltiplo do mínimo múltiplo comum (mmc, ou lcm em inglês) de 2 e 3. Para calcular o mmc, fatoramos: 2=2 e 3=3. O mmc toma cada fator na maior potência necessária, então o mmc é 2\cdot3=6. Logo, os números desejados inicialmente são exatamente os múltiplos de 6.
Fórmula prática para contar múltiplos: o número de múltiplos de um inteiro d no conjunto \{1,2,\dots,n\} é \left\lfloor \dfrac{n}{d} \right\rfloor, onde \lfloor\cdot\rfloor é a função “parte inteira” (floor). Exemplo simples: até 30, há \left\lfloor \dfrac{30}{6} \right\rfloor=5 múltiplos de 6 (são 6,12,18,24,30).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso para contar todos os múltiplos de 6 até 2025:
\left\lfloor \dfrac{2025}{6} \right\rfloor
Calculando: \dfrac{2025}{6}=337{,}5, então \left\lfloor \dfrac{2025}{6} \right\rfloor=337.
Portanto existem 337 números em 1 a 2025 que são múltiplos de 6 (isto é, múltiplos de 2 e 3 simultaneamente).

Passo 4

Agora precisamos excluir dentre esses os que são múltiplos de 8 — porque o problema pede que não sejam múltiplos de 8. Mas atenção: queremos excluir apenas os números que são ao mesmo tempo múltiplos de 6 e de 8. Um número que é múltiplo de ambos é múltiplo do mmc de 6 e 8. Vamos calcular esse mmc (explicação didática):
  • fatoração: 6=2\cdot3=2^1\cdot3^1, 8=2^3.
  • mmc pega a maior potência de cada primo: para o primo 2 a maior potência entre 2^1 e 2^3 é 2^3; para 3 é 3^1. Assim o mmc é 2^3\cdot3=8\cdot3=24.
    Logo, números múltiplos de 6 e de 8 simultaneamente são exatamente os múltiplos de 24.

Passo 5

Contamos agora quantos múltiplos de 24 existem em 1 a 2025 usando a mesma fórmula:
\left\lfloor \dfrac{2025}{24} \right\rfloor
Calculando: \dfrac{2025}{24}=84{,}375, então \left\lfloor \dfrac{2025}{24} \right\rfloor=84. Verificação rápida: 24\cdot84=2016\le 2025 e 24\cdot85=2040>2025, então estão corretos 84 múltiplos de 24.

Passo 6

Agora fazemos a subtração: dos 337 múltiplos de 6 devemos remover os 84 que são também múltiplos de 8 (ou seja, múltiplos de 24). Assim
N = 337 - 84 = 253.
Interpretação final: existem 253 números entre 1 e 2025 que são múltiplos de 2 e de 3 ao mesmo tempo e que não são múltiplos de 8. Força aí — você já pegou a ideia: contar múltiplos com \left\lfloor \dfrac{n}{d} \right\rfloor e usar mmc para interseção é a técnica que cai direto na prova.

Resposta

253

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