(a)Mostre que o valor de \frac{x^{3} y}{2 x^{6}+y^{2}} tende a 0 quando (x, y) tende a (0,0) ao longo de qualquer reta y=m x, ou ao longo de qualquer parábola y=k x^{2}. \
(b)Mostre que
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3} y}{2 x^{6}+y^{2}} \
não existe, tomando (x, y) \rightarrow(0,0) ao longo da curva y=x^{3}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Vou listar claramente o que é dado e o que é pedido, para a gente não se perder: \n
  • Dados: a função f(x,y)=\dfrac{x^{3}y}{2x^{6}+y^{2}} e o ponto (0,0). \n
  • Perguntas: \n
    1. Mostrar que o valor de \dfrac{x^{3}y}{2x^{6}+y^{2}} tende a 0 quando (x,y)\to(0,0) ao longo de qualquer reta y=mx e ao longo de qualquer parábola y=kx^{2}. \n
    2. Mostrar que o limite \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{x^{3}y}{2x^{6}+y^{2}} não existe, tomando a aproximação ao longo da curva y=x^{3}. \n
      Não vou resolver nada ainda além de ter identificado isso — agora vamos partir para os cálculos e para as ideias passo a passo.

Passo 2

Limite ao longo de uma reta y=mx. Primeiro, parametrize a reta por x=t, y=mt com t\to0. Substituindo na função obtemos (mostrar os passos de fatoração): \frac{x^{3}y}{2x^{6}+y^{2}} \quad\text{com } y=mx \Rightarrow
\frac{x^{3}\cdot (m x)}{2x^{6}+(m x)^{2}}=\frac{m x^{4}}{2x^{6}+m^{2}x^{2}}.
Agora fatoramos x^{2} no denominador para simplificar a expressão: \frac{m x^{4}}{2x^{6}+m^{2}x^{2}}=\frac{m x^{4}}{x^{2}\bigl(2x^{4}+m^{2}\bigr)}=\frac{m x^{2}}{2x^{4}+m^{2}}.
Explicando a ideia de limite de uma variável: agora temos uma função de x (ou de t) e podemos estudar o limite quando x\to0. Observe que \;2x^{4}+m^{2}\to m^{2} quando x\to0. Se m\neq0, o denominador tende para m^{2}>0, então o quociente tende para 0 porque o numerador m x^{2}\to0. Se m=0 (ou seja, a reta y=0), a expressão fica identicamente 0. Portanto, para qualquer m\in\mathbb{R} temos que o limite ao longo da reta y=mx é 0. \n
Para deixar mais claro com uma desigualdade útil (para provas): \left|\frac{m x^{2}}{2x^{4}+m^{2}}\right|\le \frac{|m|x^{2}}{m^{2}}=\frac{x^{2}}{|m|}
quando m\neq0; e o lado direito tende a 0 quando x\to0. Isso confirma que o limite é 0.

Passo 3

Limite ao longo de uma parábola y=kx^{2}. Parametrizamos por x=t, y=k t^{2} com t\to0. Substituindo: \frac{x^{3}y}{2x^{6}+y^{2}} \quad\text{com } y=kx^{2} \Rightarrow
\frac{x^{3}\cdot (k x^{2})}{2x^{6}+(k x^{2})^{2}}=\frac{k x^{5}}{2x^{6}+k^{2}x^{4}}.
Fatoramos x^{4} no denominador: \frac{k x^{5}}{x^{4}\bigl(2x^{2}+k^{2}\bigr)}=\frac{k x}{2x^{2}+k^{2}}.
Agora, quando x\to0 o denominador 2x^{2}+k^{2}\to k^{2}. Se k\neq0, então o denominador tende para k^{2}>0 e o numerador k x\to0, logo o quociente tende a 0. Se k=0 (ou seja, y=0 de novo), a expressão é 0. Portanto, para todo k\in\mathbb{R} o limite ao longo da parábola y=kx^{2} é 0. \n
Uma desigualdade simples que mostra a convergência é: para k\neq0, \left|\frac{k x}{2x^{2}+k^{2}}\right|\le \frac{|k||x|}{k^{2}}=\frac{|x|}{|k|}\to0 \quad\text{quando } x\to0.

Passo 4

Breve explicação didática sobre por que isso não garante que o limite em duas variáveis exista: em funções de duas variáveis, mesmo que todos os limites ao longo de muitas famílias de curvas (retas, parábolas, etc.) deem o mesmo valor, isso ainda não prova que o limite total exista — só uma condição necessária é que todos os limites ao longo de todas as curvas que chegam ao ponto sejam iguais. Para provar que o limite não existe basta encontrar duas curvas (ou sequências) que se aproximem do ponto e deem limites diferentes. Vou usar exatamente isso no próximo passo.

Passo 5

Agora tomo a curva y=x^{3}. Substituindo diretamente: \frac{x^{3}y}{2x^{6}+y^{2}} \quad\text{com } y=x^{3} \Rightarrow
\frac{x^{3}\cdot x^{3}}{2x^{6}+(x^{3})^{2}}=\frac{x^{6}}{2x^{6}+x^{6}}=\frac{x^{6}}{3x^{6}}=\frac{1}{3},
para x\neq0. Isso mostra que ao longo da curva y=x^{3} a função toma sempre o valor \tfrac{1}{3} (quando nos aproximamos do ponto pela curva), portanto o limite ao longo dessa curva é \tfrac{1}{3}.

Passo 6

Conclusão lógica final: pelo Passo 2 e Passo 3 vimos que ao longo de qualquer reta y=mx e de qualquer parábola y=kx^{2} o limite é 0. Pelo Passo 5 vimos que ao longo da curva y=x^{3} o limite é \tfrac{1}{3}. Como existem duas curvas que chegam ao mesmo ponto (0,0) e dão limites diferentes ( 0 e \tfrac{1}{3}), o limite total \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{x^{3}y}{2x^{6}+y^{2}} não existe. \n
(Isto usa o fato básico: se o limite existisse, todos os limites ao longo de quaisquer caminhos que levem ao ponto teriam que coincidir.)

Resposta

Parte (a): Ao longo de qualquer reta y=mx o limite é 0. Ao longo de qualquer parábola y=kx^{2} o limite é 0. \n
Parte (b): O limite não existe; ao longo de y=x^{3} a expressão tende a \tfrac{1}{3}.

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