Utilize coordenadas polares para determinar os limites(Dica: note que se ( r, \theta ) são as coordenadas polares do ponto (x, y), x=r \cos (\theta), y=r \sin (\theta), r \geq 0, \theta \in[0,2 \pi), então r \rightarrow 0+ quando (x, y) \rightarrow(0,0), pois x^{2}+y^{2}=r^{2} ):
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} e^{-1 /\left(x{2}+y{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} e^{-1/\left(x^{2}+y^{2}\right)}.
Informações importantes fornecidas que vamos usar:
  • Se (r,\theta) são coordenadas polares de (x,y) então x=r\cos(\theta), y=r\sin(\theta).
  • Tem-se r\ge 0 e \theta\in[0,2\pi).
  • Também \;x^{2}+y^{2}=r^{2}, então \;r\to 0+ é equivalente a (x,y)\to(0,0).
  • O objetivo é observar o comportamento da função quando r\to 0+.

Passo 2

Vamos passar a expressão para coordenadas polares. Substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2} obtemos a função em termos de r e \theta:
e^{-1/\left(x^{2}+y^{2}\right)} = e^{-1/r^{2}}.
Mostrei a substituição passo a passo: primeiro escrevi x=r\cos(\theta) e y=r\sin(\theta), somei os quadrados e simplifiquei para r^{2}; daí o denominador x^{2}+y^{2} virou r^{2}.

Passo 3

Note um ponto crucial: a expressão e^{-1/r^{2}} não depende de \theta. Isso significa que o valor da função ao aproximar de (0,0) não varia com a direção de chegada — só importa r. Portanto o limite quando (x,y)\to(0,0) é equivalente ao limite unidimensional quando r\to 0+ de e^{-1/r^{2}}:
\lim_{(x,y)\to(0,0)} e^{-1/\left(x^{2}+y^{2}\right)} = \lim_{r\to 0+} e^{-1/r^{2}}.

Passo 4

Agora estudamos o limite unidimensional \lim_{r\to 0+} e^{-1/r^{2}}. Para tornar claro o comportamento, faça a troca de variável
s=\frac{1}{r^{2}}.
Quando r\to 0+ temos r^{2}\to 0+ e portanto s=\frac{1}{r^{2}}\to +\infty. Em termos de s a função é e^{-s}.

Passo 5

Sabemos (ou podemos justificar facilmente) que
\lim_{s\to+\infty} e^{-s} = 0.
Uma justificativa simples: \ln(e^{-s})=-s e -s\to -\infty quando s\to+\infty, portanto e^{-s}\to 0. Outra maneira é observar que a função exponencial decresce para zero quando o expoente vai para -\infty. Como no passo anterior s\to+\infty, o expoente -s\to -\infty.

Passo 6

Voltando à variável r, a conclusão é
\lim_{r\to 0+} e^{-1/r^{2}} = 0.
Pelo passo 3 isso dá o valor do limite bidimensional pedido.

Resposta

0

Exercícios relacionados