Utilize coordenadas polares para determinar os limites(Dica: note que se (
) são as coordenadas polares do ponto
,
, então
quando
, pois
):
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} e^{-1 /\left(x{2}+y{2}\right)}
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} e^{-1 /\left(x{2}+y{2}\right)}
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações importantes fornecidas que vamos usar:
- Se
são coordenadas polares de então , . - Tem-se
e . - Também
, então é equivalente a . - O objetivo é observar o comportamento da função quando
.
Passo 2
Vamos passar a expressão para coordenadas polares. Substituindo
obtemos a função em termos de
e
:
Mostrei a substituição passo a passo: primeiro escrevi
e
, somei os quadrados e simplifiquei para
; daí o denominador
virou
.
Passo 3
Note um ponto crucial: a expressão
não depende de
. Isso significa que o valor da função ao aproximar de
não varia com a direção de chegada — só importa
. Portanto o limite quando
é equivalente ao limite unidimensional quando
de
:
Passo 4
Agora estudamos o limite unidimensional
. Para tornar claro o comportamento, faça a troca de variável
Quando
temos
e portanto
. Em termos de
a função é
.
Passo 5
Sabemos (ou podemos justificar facilmente) que
Uma justificativa simples:
e
quando
, portanto
. Outra maneira é observar que a função exponencial decresce para zero quando o expoente vai para
. Como no passo anterior
, o expoente
.
Passo 6
Voltando à variável
, a conclusão é
Pelo passo 3 isso dá o valor do limite bidimensional pedido.