A equação geral do plano que passa por A(2,4,1) e é perpendicular à reta que passa pelos pontos B(1,0,0) e C(0,1,1) é dada por:
a) -x+y+z+3=0
b) -x+y+z-3=0
c) x+y-z+3=0
d) -x-y+z-3=0
e) -x+y-z-3=0

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que passa por A(2,4,1) e é perpendicular à reta que passa por B(1,0,0) e C(0,1,1). Aqui o conteúdo principal é que, se um plano é perpendicular a uma reta, então o vetor diretor dessa reta serve de vetor normal ao plano. Vamos precisar:
  1. Encontrar o vetor diretor BC.
  2. Usar BC como vetor normal n do plano.
  3. Achar a constante D substituindo as coordenadas de A na equação geral do plano.

Passo 2

Calculamos o vetor diretor da reta BC por subtração de coordenadas:
BC = C - B = (0-1,;1-0,;1-0) = (-1,,1,,1)
Esse vetor será o vetor normal n = (nx,ny,nz) do plano.

Passo 3

A forma geral de um plano com vetor normal n=(nx,ny,nz) é
nx,x + ny,y + nz,z + D = 0
Substituindo n=(-1,1,1) obtemos
-1cdot x + 1cdot y + 1cdot z + D = 0,
ou seja
-x + y + z + D = 0

Passo 4

Para determinar D, usamos o fato de que o ponto A(2,4,1) pertence ao plano. Substituindo na equação:
-(2) + 4 + 1 + D = 0 Longrightarrow -2 + 5 + D = 0 Longrightarrow 3 + D = 0 Longrightarrow D = -3

Passo 5

Substituindo D=-3 na equação geral, obtemos
-x + y + z - 3 = 0

Resposta

b) -x+y+z-3=0

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