Dê a equação da hipérbole com centro na origem, vértices em
(0, pm 4) e assíntotas y= pm 43 x

Passo 1

O enunciado pede a hipérbole com centro na origem, vértices em (0,pm4) e assíntotas y=pm43x. Isso é uma hipérbole com eixo transverso vertical. Vamos usar a forma padrão para esse caso.

Passo 2

A forma padrão de uma hipérbole com eixo transverso vertical é
y^2a^2-x^2b^2=1,
onde a é o semi-eixo vertical (distância do centro aos vértices) e b está ligado ao “abreamento” via assíntotas.

Passo 3

Como os vértices são (0,pm4), a distância do centro até cada vértice é
a=4,
logo
a^2=16

Passo 4

Para essa hipérbole as assíntotas são dadas por
y=pmab,x
Como elas são y=pm43x, temos
ab=43 Longrightarrow b=acdot34=4cdot34=3,
portanto
b^2=9

Passo 5

Substituindo a^2=16 e b^2=9 na forma padrão, a equação da hipérbole fica
y^216-x^29=1

Resposta

y^216-x^29=1

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