(Equação Horária do MHS) Um oscilador mecânico tem a sua posição modelada pela equação x(t)=5 \cos (2 \pi t+\pi / 4), com x em metros e t em segundos. Qual é a posição exata da partícula no instante inicial ( t=0 )?
a) 0 m
b) 2,5 \mathrm{~m}
c) 5 \sqrt{2} / 2 \mathrm{~m}
d) 5 m
e) -5 m

Passo 1

O enunciado nos dá a função posição do oscilador
x(t)=5\cos\!\left(2\pi t+\frac{\pi}{4}\right),
com x em metros e t em segundos. A pergunta é: qual é a posição exata da partícula no instante inicial t=0?\n
Informações relevantes fornecidas:
  • Amplitude: 5 (porque a função está na forma A\cos(\dots) com A=5).
  • Frequência angular: 2\pi (ou seja, \omega=2\pi rad/s).
  • Fase inicial: \dfrac{\pi}{4} rad.
  • Quero calcular x(0).

Passo 2

Procedimento direto para encontrar x(0): basta substituir t=0 na expressão x(t). Isso porque a equação dá a posição para qualquer instante t; o instante inicial é t=0. Aplicando isso:
x(0)=5\cos\!\left(2\pi\cdot 0+\frac{\pi}{4}\right).

Passo 3

Simplificando o argumento do cosseno: 2\pi\cdot 0=0, então
x(0)=5\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right).
Agora precisamos lembrar o valor do cosseno em ângulos notáveis. Uma forma simples de ver \cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right) é usar um triângulo retângulo isósceles (ângulos 45^\circ,45^\circ,90^\circ) com catetos iguais; se os catetos valem 1, a hipotenusa vale \sqrt{2}. Então
\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Substituindo esse valor em x(0):
x(0)=5\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}.
Se quiser uma ideia numérica rápida (sem usar calculadora é opcional), \sqrt{2}\approx1{,}414 então x(0)\approx3{,}535 m, isto é, positivo e menor que a amplitude 5 m.

Resposta

c) \dfrac{5\sqrt{2}}{2}\\ \mathrm{m}

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