Usando-se um infiltrômetro de anel, em que o tubo interno tem
pol., obteve-se os volumes V acumulados de água adicionada
nos respectivos tempos constantes da tabela abaixo. Pede-se:
a) Traçar a curva da capacidade de infiltração;
b) Determinar os parâmetros da equação de Horton (fazer exercício pela diferença dos volumes e pelo volume acumulado.
c) Considerando uma chuva constante com intensidade igual à
do valor de
e duração de 3 horas, calcular o volume infiltrado por metro quadrado utilizando a equação de Horton (integrando a equação).
Hora
Hora
Hora
-
435
1298
62
680
1440
119
862
268
1153
a) Traçar a curva da capacidade de infiltração;
b) Determinar os parâmetros da equação de Horton (fazer exercício pela diferença dos volumes e pelo volume acumulado.
c) Considerando uma chuva constante com intensidade igual à
| Hora |
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Hora |
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Hora |
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- |
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435 |
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1298 |
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62 |
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680 |
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1440 |
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119 |
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862 | ||
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268 |
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1153 |
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- Traçar a curva da capacidade de infiltração (ou seja, obter a taxa de infiltração
versus tempo). - Determinar os parâmetros da equação de Horton, fazendo o ajuste de duas formas:
- a partir das diferenças dos volumes (isto é, estimando as taxas pela diferença de volumes entre leituras);
- a partir do volume acumulado (ajustando a forma integrada da equação).
- Considerando uma chuva constante com intensidade igual a
de e duração de 3 horas, calcular o volume infiltrado por metro quadrado usando a equação de Horton (integrando).
Informações relevantes dadas pelo enunciado (vou colocar os tempos como minutos e depois em horas a partir de
que é o instante inicial):
- Diâmetro interno do tubo:
pol. . - Assumo que o volume acumulado em
é (o traço indica início da medição). - Tabela (hora
em ): -
Observações que valem desde já (sem resolver ainda): temos volumes acumulados no anel; para transformar volume em infiltração (profundidade infiltrada) dividimos pelo \emph{volume por unidade de profundidade} do anel, isto é, pela área interna do anel. A equação de Horton a ajustar é
onde
é a capacidade de infiltração (profundidade por unidade de tempo),
é a capacidade inicial,
é a capacidade assintótica (constante) e
é a constante de decaimento.
Passo 2
Calcular a área interna do tubo (em
) e transformar os volumes acumulados em profundidades acumuladas
(em
).\n
Área do círculo interno:
Área do círculo interno:
Calculei numericamente:
Profundidade acumulada para cada leitura:
Vou calcular os
correspondentes (usando
):
-
( ): -
( ): -
( ): -
( ): -
( ): -
( ): -
( ): -
( ): -
( ): -
( ):
Esses
são as profundidades acumuladas infiltradas no anel até cada instante.
Passo 3
Estimar a taxa de infiltração média em cada intervalo (método pela diferença dos volumes). Explico o raciocínio: a taxa média de infiltração no intervalo
é
Vou calcular essa taxa em
para facilitar ajustar Horton (unidade usual). Para cada intervalo encontro
,
(em horas), e depois
em
.
Cálculos (Δt em horas; ΔV em
; área
já usada):
-
: , taxa . -
: , -
: , -
: , -
: , -
: , -
: , -
: , -
: ,
Esses valores são aproximações da capacidade média no intervalo; para traçar a curva
podemos plotar esses pontos (normalmente colocamos cada taxa no tempo médio do intervalo). Visualmente dá a curva decrescente procurada.
Passo 4
Ajuste da equação de Horton pelo método das diferenças dos volumes (usando as taxas estimadas).\n
Formulação: Se conhecermos
podemos linearizar:
Formulação:
que é uma reta em
. Então o procedimento prático:
- Estimar
pela média das taxas nos instantes longos (aqui os últimos dois intervalos dão e , praticamente constantes). Tomarei
- Calcular
para cada ponto (usando as taxas da tabela do Passo 3) e fazer regressão linear . Eu fiz isso (usei os nove pontos de taxa, atribuindo a cada taxa o tempo médio do intervalo) e encontrei, pelos cálculos de mínimos quadrados:
- Assim
logo
Resumo do ajuste via diferenças:
(Notas: os valores são aproximados devido à natureza discreta e ao ruído dos dados; eu mostrei o procedimento e fiz a regressão linear sobre
.)
Passo 5
Ajuste da equação de Horton pelo método dos volumes acumulados (usar a forma integrada).\n
A forma integrada da equação de Horton, que relaciona a infiltração acumulada com
, é obtida integrando
:
A forma integrada da equação de Horton, que relaciona a infiltração acumulada
Explicação: a primeira parcela
é a contribuição da taxa assintótica ao longo do tempo; a segunda parcela surge da integração da exponencial.
Procedimento para estimar os parâmetros a partir de
:
- Estimei
pela inclinação das leituras finais (diferença entre e / diferença de tempo) e obtive novamente (coincide com a taxa média nos últimos intervalos). - Usei um par de pontos (um próximo do início e outro tardio) e a equação integrada para resolver numericamente
e . Em particular usei o ponto inicial (correspondente a ) com e o ponto final com . Substituindo e resolvendo numericamente para obtive:
Com esse
e
, resolvi para
e encontrei
Resumo do ajuste via volumes acumulados:
Comentário sobre as duas estimativas: os parâmetros obtidos pelos dois métodos não são idênticos porque os dados são discretos e ruidosos; o método por diferenças trabalha com taxas médias (mais sensível ao ruído em intervalos curtos), enquanto o ajuste por volumes acumulados ajusta diretamente a integral e tende a refletir melhor a massa acumulada. Ambos os conjuntos de parâmetros são plausíveis; para a parte (c) é razoável usar o ajuste por volumes acumulados (já que a questão pede integrar a equação) — vou adotar os valores do Passo 5 para o item (c).
Passo 6
Resolver o item (c): chuva constante com intensidade igual a
de
e duração
. Vou usar os parâmetros obtidos pelo ajuste via volumes acumulados (Passo 5):
Intensidade da chuva:
Raciocínio físico: a infiltração real
sob chuva de intensidade
é a mínima entre a capacidade
e a intensidade
:
No início
, então a chuva é \emph{menor} que a capacidade inicialmente — nesse caso, enquanto
a infiltração é limitada pela chuva (
). Quando
decair até
(num tempo
), a partir de então
e a infiltração passa a ser limitada pela capacidade
.
Encontrar
tal que
:
Substituindo números:
Logo
Portanto somente nos primeiros
minutos a infiltração é limitada pela chuva; depois a capacidade fica menor que a chuva e a infiltração segue
.
Calcular o volume infiltrado por
em
. Em termos de profundidade infiltrada
(em
):
A primeira integral é
. A segunda usa a forma integrada de Horton:
Substituindo valores numéricos (note que
é praticamente zero,
, desprezível):
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
-
-
- Soma da segunda integral
-
Total:
Converter profundidade infiltrada por
em volume:
de infiltração sobre
corresponde a
(ou
). Então
Ou em
:
(normalmente reporta-se em mm; aqui é
).
Resposta
a) Curva
traçada a partir das taxas médias (pontos calculados no Passo 3): pontos de
(em
) no tempo médio de cada intervalo:
. (Plote esses pontos em função do tempo e una com a função ajustada de Horton.)
b) Parâmetros da equação de Horton:
- Pelo método das diferenças dos volumes:
- Pelo método do volume acumulado (ajuste da forma integrada):
c) Usando a equação de Horton (parâmetros do ajuste por volume acumulado) e chuva com intensidade
: