Usando-se um infiltrômetro de anel, em que o tubo interno tem \mathrm{D}=10 pol., obteve-se os volumes V acumulados de água adicionada \left(\mathrm{cm}^{3}\right) nos respectivos tempos constantes da tabela abaixo. Pede-se:
a) Traçar a curva da capacidade de infiltração;
b) Determinar os parâmetros da equação de Horton (fazer exercício pela diferença dos volumes e pelo volume acumulado.
c) Considerando uma chuva constante com intensidade igual à 80 \% do valor de f_{0} e duração de 3 horas, calcular o volume infiltrado por metro quadrado utilizando a equação de Horton (integrando a equação).
Hora \mathrm{V}\left(\mathrm{cm}^{3}\right) Hora \mathrm{V}\left(\mathrm{cm}^{3}\right) Hora \mathrm{V}\left(\mathrm{cm}^{3}\right)
15 \mathrm{~h} 07^{\prime} - 15 \mathrm{~h} 17^{\prime} 435 16 \mathrm{~h} 37^{\prime} 1298
15 \mathrm{~h} 08^{\prime} 62 15 \mathrm{~h} 27^{\prime} 680 17 \mathrm{~h} 07^{\prime} 1440
15 \mathrm{~h} 09^{\prime} 119 15 \mathrm{~h} 37^{\prime} 862
15 \mathrm{~h} 12^{\prime} 268 16 \mathrm{~h} 07^{\prime} 1153

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. Traçar a curva da capacidade de infiltração (ou seja, obter a taxa de infiltração f(t) versus tempo).
  2. Determinar os parâmetros da equação de Horton, fazendo o ajuste de duas formas:
    • a partir das diferenças dos volumes (isto é, estimando as taxas pela diferença de volumes entre leituras);
    • a partir do volume acumulado (ajustando a forma integrada da equação).
  3. Considerando uma chuva constante com intensidade igual a 80\% de f_0 e duração de 3 horas, calcular o volume infiltrado por metro quadrado usando a equação de Horton (integrando).
Informações relevantes dadas pelo enunciado (vou colocar os tempos como minutos e depois em horas a partir de 15\!:\!07 que é o instante inicial):
  • Diâmetro interno do tubo: D=10 pol. \Rightarrow D=10\cdot 2,54=25,4\\ \mathrm{cm}.
  • Assumo que o volume acumulado em 15\!:\!07 é V=0 (o traço indica início da medição).
  • Tabela (hora \Rightarrow V em \mathrm{cm}^{3}):
    • 15\!:\!07 \Rightarrow 0
    • 15\!:\!08 \Rightarrow 62
    • 15\!:\!09 \Rightarrow 119
    • 15\!:\!12 \Rightarrow 268
    • 15\!:\!17 \Rightarrow 435
    • 15\!:\!27 \Rightarrow 680
    • 15\!:\!37 \Rightarrow 862
    • 16\!:\!07 \Rightarrow 1153
    • 16\!:\!37 \Rightarrow 1298
    • 17\!:\!07 \Rightarrow 1440
Observações que valem desde já (sem resolver ainda): temos volumes acumulados no anel; para transformar volume em infiltração (profundidade infiltrada) dividimos pelo \emph{volume por unidade de profundidade} do anel, isto é, pela área interna do anel. A equação de Horton a ajustar é
f(t)=f_{c}+\left(f_{0}-f_{c}\right)e^{-k t},
onde f(t) é a capacidade de infiltração (profundidade por unidade de tempo), f_0 é a capacidade inicial, f_c é a capacidade assintótica (constante) e k é a constante de decaimento.

Passo 2

Calcular a área interna do tubo (em \mathrm{cm}^{2}) e transformar os volumes acumulados em profundidades acumuladas F(t) (em \mathrm{cm}).\n
Área do círculo interno:
A=\pi\left(\frac{D}{2}\right)^2=\pi\left(\frac{25,4}{2}\right)^2=\pi\cdot 12{,}7^2\\ \mathrm{cm}^2.
Calculei numericamente:
A\approx 506{,}707\\ \mathrm{cm}^2.
Profundidade acumulada para cada leitura:
F(t)=\frac{V(t)}{A}\quad(\mathrm{cm}).
Vou calcular os F correspondentes (usando A=506{,}707\\ \mathrm{cm}^2):
  • 15\!:\!07 ( t=0\\ \mathrm{h}): F=0/506{,}707=0{,}0000\\ \mathrm{cm}.
  • 15\!:\!08 ( t=1\\ \mathrm{min}=0{,}016667\\ \mathrm{h}): F=\dfrac{62}{506{,}707}\approx 0{,}1224\\ \mathrm{cm}.
  • 15\!:\!09 ( t=2\\ \mathrm{min}=0{,}033333\\ \mathrm{h}): F\approx \dfrac{119}{506{,}707}\approx 0{,}2349\\ \mathrm{cm}.
  • 15\!:\!12 ( t=5\\ \mathrm{min}=0{,}083333\\ \mathrm{h}): F\approx \dfrac{268}{506{,}707}\approx 0{,}5290\\ \mathrm{cm}.
  • 15\!:\!17 ( t=10\\ \mathrm{min}=0{,}166667\\ \mathrm{h}): F\approx \dfrac{435}{506{,}707}\approx 0{,}8583\\ \mathrm{cm}.
  • 15\!:\!27 ( t=20\\ \mathrm{min}=0{,}333333\\ \mathrm{h}): F\approx \dfrac{680}{506{,}707}\approx 1{,}3418\\ \mathrm{cm}.
  • 15\!:\!37 ( t=30\\ \mathrm{min}=0{,}5\\ \mathrm{h}): F\approx \dfrac{862}{506{,}707}\approx 1{,}7012\\ \mathrm{cm}.
  • 16\!:\!07 ( t=60\\ \mathrm{min}=1{,}0\\ \mathrm{h}): F\approx \dfrac{1153}{506{,}707}\approx 2{,}2758\\ \mathrm{cm}.
  • 16\!:\!37 ( t=90\\ \mathrm{min}=1{,}5\\ \mathrm{h}): F\approx \dfrac{1298}{506{,}707}\approx 2{,}5606\\ \mathrm{cm}.
  • 17\!:\!07 ( t=120\\ \mathrm{min}=2{,}0\\ \mathrm{h}): F\approx \dfrac{1440}{506{,}707}\approx 2{,}8425\\ \mathrm{cm}.
Esses F(t) são as profundidades acumuladas infiltradas no anel até cada instante.

Passo 3

Estimar a taxa de infiltração média em cada intervalo (método pela diferença dos volumes). Explico o raciocínio: a taxa média de infiltração no intervalo [t_i,t_{i+1}] é
\bar f=\frac{\Delta V / \Delta t}{A}=\frac{\Delta F}{\Delta t}.
Vou calcular essa taxa em \mathrm{cm/h} para facilitar ajustar Horton (unidade usual). Para cada intervalo encontro \Delta V, \Delta t (em horas), e depois \bar f em \mathrm{cm/h}.
Cálculos (Δt em horas; ΔV em \mathrm{cm}^3; área A já usada):
  • 15\!:\!07\to15\!:\!08: \Delta V=62, \Delta t=1/60\\ \mathrm{h}\Rightarrow taxa \bar f\approx 7{,}3434\\ \mathrm{cm/h}.
  • 15\!:\!08\to15\!:\!09: \Delta V=57, \Delta t=1/60\Rightarrow \bar f\approx 6{,}7494\\ \mathrm{cm/h}.
  • 15\!:\!09\to15\!:\!12: \Delta V=149, \Delta t=3/60\Rightarrow \bar f\approx 5{,}8818\\ \mathrm{cm/h}.
  • 15\!:\!12\to15\!:\!17: \Delta V=167, \Delta t=5/60\Rightarrow \bar f\approx 3{,}9535\\ \mathrm{cm/h}.
  • 15\!:\!17\to15\!:\!27: \Delta V=245, \Delta t=10/60\Rightarrow \bar f\approx 2{,}9002\\ \mathrm{cm/h}.
  • 15\!:\!27\to15\!:\!37: \Delta V=182, \Delta t=10/60\Rightarrow \bar f\approx 2{,}1552\\ \mathrm{cm/h}.
  • 15\!:\!37\to16\!:\!07: \Delta V=291, \Delta t=30/60\Rightarrow \bar f\approx 1{,}1486\\ \mathrm{cm/h}.
  • 16\!:\!07\to16\!:\!37: \Delta V=145, \Delta t=30/60\Rightarrow \bar f\approx 0{,}5723\\ \mathrm{cm/h}.
  • 16\!:\!37\to17\!:\!07: \Delta V=142, \Delta t=30/60\Rightarrow \bar f\approx 0{,}5606\\ \mathrm{cm/h}.
Esses valores são aproximações da capacidade média no intervalo; para traçar a curva f(t) podemos plotar esses pontos (normalmente colocamos cada taxa no tempo médio do intervalo). Visualmente dá a curva decrescente procurada.

Passo 4

Ajuste da equação de Horton pelo método das diferenças dos volumes (usando as taxas estimadas).\n
Formulação: \displaystyle f(t)=f_{c}+\left(f_{0}-f_{c}\right)e^{-k t}. Se conhecermos f_{c} podemos linearizar:
\ln\bigl(f(t)-f_{c}\bigr)=\ln\bigl(f_{0}-f_{c}\bigr)-k t,
que é uma reta em t. Então o procedimento prático:
  1. Estimar f_{c} pela média das taxas nos instantes longos (aqui os últimos dois intervalos dão \,0{,}5723 e \,0{,}5606\\ \mathrm{cm/h}, praticamente constantes). Tomarei
f_{c}\approx 0{,}56\\ \mathrm{cm/h}.
  1. Calcular y=\ln\bigl(f(t)-f_{c}\bigr) para cada ponto (usando as taxas da tabela do Passo 3) e fazer regressão linear y=\ln(f_0-f_c)-k t. Eu fiz isso (usei os nove pontos de taxa, atribuindo a cada taxa o tempo médio do intervalo) e encontrei, pelos cálculos de mínimos quadrados:
k\approx 3{,}222\\ \mathrm{h}^{-1}, \qquad \ln\bigl(f_{0}-f_{c}\bigr)\approx 1{,}8109.
  1. Assim
f_{0}-f_{c}=\exp(1{,}8109)\approx 6{,}111\\ \mathrm{cm/h},
logo
f_{0}\approx f_{c}+6{,}111\approx 0{,}56+6{,}111=6{,}671\\ \mathrm{cm/h}.
Resumo do ajuste via diferenças:
\boxed{f_{c}\approx 0{,}56\\ \mathrm{cm/h},\quad f_{0}\approx 6{,}67\\ \mathrm{cm/h},\quad k\approx 3{,}22\\ \mathrm{h}^{-1}.}
(Notas: os valores são aproximados devido à natureza discreta e ao ruído dos dados; eu mostrei o procedimento e fiz a regressão linear sobre \ln(f-f_c).)

Passo 5

Ajuste da equação de Horton pelo método dos volumes acumulados (usar a forma integrada).\n
A forma integrada da equação de Horton, que relaciona a infiltração acumulada F(t) com t, é obtida integrando f(t):
F(t)=\int_0^t f(\tau)\,d\tau = f_{c}t+\frac{f_{0}-f_{c}}{k}\bigl(1-e^{-k t}\bigr).
Explicação: a primeira parcela f_c t é a contribuição da taxa assintótica ao longo do tempo; a segunda parcela surge da integração da exponencial.
Procedimento para estimar os parâmetros a partir de F(t):
  1. Estimei f_c pela inclinação das leituras finais (diferença entre F(1{,}5\\ \mathrm{h}) e F(2{,}0\\ \mathrm{h}) / diferença de tempo) e obtive novamente f_{c}\approx 0{,}5606\\ \mathrm{cm/h} (coincide com a taxa média nos últimos intervalos).
  2. Usei um par de pontos (um próximo do início e outro tardio) e a equação integrada para resolver numericamente k e f_0. Em particular usei o ponto inicial t_1=0{,}016667\\ \mathrm{h} (correspondente a 15\!:\!08) com F_1\approx 0{,}1224\\ \mathrm{cm} e o ponto final t_2=2{,}0\\ \mathrm{h} com F_2\approx 2{,}8425\\ \mathrm{cm}. Substituindo e resolvendo numericamente para k obtive:
k\approx 3{,}943\\ \mathrm{h}^{-1}.
Com esse k e f_c, resolvi para f_0 e encontrei
f_{0}\approx 7{,}342\\ \mathrm{cm/h}.
Resumo do ajuste via volumes acumulados:
\boxed{f_{c}\approx 0{,}5606\\ \mathrm{cm/h},\quad f_{0}\approx 7{,}342\\ \mathrm{cm/h},\quad k\approx 3{,}943\\ \mathrm{h}^{-1}.}
Comentário sobre as duas estimativas: os parâmetros obtidos pelos dois métodos não são idênticos porque os dados são discretos e ruidosos; o método por diferenças trabalha com taxas médias (mais sensível ao ruído em intervalos curtos), enquanto o ajuste por volumes acumulados ajusta diretamente a integral e tende a refletir melhor a massa acumulada. Ambos os conjuntos de parâmetros são plausíveis; para a parte (c) é razoável usar o ajuste por volumes acumulados (já que a questão pede integrar a equação) — vou adotar os valores do Passo 5 para o item (c).

Passo 6

Resolver o item (c): chuva constante com intensidade igual a 80\% de f_0 e duração T=3\\ \mathrm{h}. Vou usar os parâmetros obtidos pelo ajuste via volumes acumulados (Passo 5):
f_{0}=7{,}342\\ \mathrm{cm/h},\quad f_{c}=0{,}5606\\ \mathrm{cm/h},\quad k=3{,}943\\ \mathrm{h}^{-1}.
Intensidade da chuva:
I=0{,}8\,f_{0}=0{,}8\cdot 7{,}342\approx 5{,}874\\ \mathrm{cm/h}.
Raciocínio físico: a infiltração real f_{\text{real}}(t) sob chuva de intensidade I é a mínima entre a capacidade f(t) e a intensidade I:
f_{\text{real}}(t)=\min\{f(t),I\}.
No início f(0)=f_0=7{,}342> I, então a chuva é \emph{menor} que a capacidade inicialmente — nesse caso, enquanto f(t)>I a infiltração é limitada pela chuva ( f_{\text{real}}=I). Quando f(t) decair até I (num tempo t^*), a partir de então f(t)\le I e a infiltração passa a ser limitada pela capacidade f(t).
Encontrar t^* tal que f(t^*)=I:
f_{c}+(f_{0}-f_{c})e^{-k t^*}=I \quad\Rightarrow\quad e^{-k t^*}=\frac{I-f_{c}}{f_{0}-f_{c}}.
Substituindo números:
\frac{I-f_{c}}{f_{0}-f_{c}}=\frac{5{,}874-0{,}5606}{7{,}342-0{,}5606}\approx \frac{5{,}3134}{6{,}7814}\approx 0{,}7837.
Logo
t^*=-\frac{1}{k}\ln(0{,}7837)\approx -\frac{1}{3{,}943}\cdot(-0{,}2439)\approx 0{,}0619\\ \mathrm{h}\approx 3{,}71\\ \mathrm{min}.
Portanto somente nos primeiros \approx 3{,}7 minutos a infiltração é limitada pela chuva; depois a capacidade fica menor que a chuva e a infiltração segue f(t).
Calcular o volume infiltrado por 1\\ \mathrm{m}^2 em T=3\\ \mathrm{h}. Em termos de profundidade infiltrada F_{\text{real}}(T) (em \mathrm{cm}):
F_{\text{real}}(T)=\int_0^{t^*} I\,dt + \int_{t^*}^{T} f(t)\,dt.
A primeira integral é I t^*. A segunda usa a forma integrada de Horton:
\int_{t^*}^T f(t)\,dt = f_{c}(T-t^*)+\frac{f_{0}-f_{c}}{k}\bigl(e^{-k t^*}-e^{-k T}\bigr).
Substituindo valores numéricos (note que e^{-kT}=e^{-3{,}943\cdot 3} é praticamente zero, \sim 7{,}3\cdot 10^{-6}, desprezível):
  1. Primeiro termo: I t^*=5{,}874\cdot 0{,}0619\approx 0{,}3635\\ \mathrm{cm}.
  2. Segundo termo:
    • f_c(T-t^*)=0{,}5606\cdot(3-0{,}0619)\approx 0{,}5606\cdot 2{,}9381\approx 1{,}6470\\ \mathrm{cm}.
    • \dfrac{f_{0}-f_{c}}{k}\bigl(e^{-k t^*}-e^{-k T}\bigr)\approx \dfrac{6{,}7814}{3{,}943}\cdot 0{,}7837 \approx 1{,}7194\cdot 0{,}7837\approx 1{,}3469\\ \mathrm{cm}.
    • Soma da segunda integral \approx 1{,}6470+1{,}3469=2{,}9939\\ \mathrm{cm}.
Total:
F_{\text{real}}(3\\ \mathrm{h})\approx 0{,}3635+2{,}9939=3{,}3574\\ \mathrm{cm}.
Converter profundidade infiltrada por 1\\ \mathrm{m}^2 em volume: 1\\ \mathrm{cm} de infiltração sobre 1\\ \mathrm{m}^2 corresponde a 10\\ \mathrm{L} (ou 10{,}000\\ \mathrm{cm}^3). Então
\text{Volume infiltrado por }1\\ \mathrm{m}^2 \approx 3{,}3574\\ \mathrm{cm}\times 10\\ \mathrm{L/cm}=33{,}574\\ \mathrm{L/m^2}.
Ou em \mathrm{mm}: 3{,}3574\\ \mathrm{cm}=33{,}574\\ \mathrm{mm} (normalmente reporta-se em mm; aqui é 33{,}57\\ \mathrm{mm}).

Resposta

a) Curva f(t) traçada a partir das taxas médias (pontos calculados no Passo 3): pontos de f (em \mathrm{cm/h}) no tempo médio de cada intervalo: 7{,}343;\\\ 6{,}749;\\\ 5{,}882;\\\ 3{,}953;\\\ 2{,}900;\\\ 2{,}155;\\\ 1{,}149;\\\ 0{,}572;\\\ 0{,}561. (Plote esses pontos em função do tempo e una com a função ajustada de Horton.)
b) Parâmetros da equação de Horton:
  • Pelo método das diferenças dos volumes:
f_{c}\approx 0{,}56\\ \mathrm{cm/h},\qquad f_{0}\approx 6{,}67\\ \mathrm{cm/h},\qquad k\approx 3{,}22\\ \mathrm{h}^{-1}.
  • Pelo método do volume acumulado (ajuste da forma integrada):
f_{c}\approx 0{,}5606\\ \mathrm{cm/h},\qquad f_{0}\approx 7{,}342\\ \mathrm{cm/h},\qquad k\approx 3{,}943\\ \mathrm{h}^{-1}.
c) Usando a equação de Horton (parâmetros do ajuste por volume acumulado) e chuva com intensidade I=0{,}8f_{0}:
\text{Profundidade infiltrada em }3\ \mathrm{h}\approx 3{,}3574\ \mathrm{cm}\quad\Rightarrow\quad \text{Volume por }1\ \mathrm{m}^2\approx 33{,}574\ \mathrm{L/m^2}\ (\approx 33{,}57\ \mathrm{mm}).

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