Qual é o máximo volume de água por hectare que pode ser aplicado pelo período de 2 horas numa área, sem ocorrência de escoamento superficial, considerando que as condições observadas no experimento do problema 2 valem para toda a área (inclusive as condições iniciais de umidade do solo).

Passo 1

O que o problema pede:
  • Queremos saber qual é o máximo volume de água por hectare que pode ser aplicado durante o período de 2 horas numa área, sem que ocorra escoamento superficial.
Informações explícitas no enunciado:
  • O período de aplicação é 2 horas.
  • Devemos considerar que “as condições observadas no experimento do problema 2” valem para toda a área, inclusive as condições iniciais de umidade do solo.
Informações que deveriam aparecer no enunciado (mas não foram fornecidas aqui):
  • A curva ou função de infiltração (taxa de infiltração em função do tempo) observada no experimento do problema 2, ou a infiltração acumulada ao longo do tempo F(t) do experimento 2, ou pelo menos um valor numérico da taxa máxima de infiltração constante. Sem esses dados numéricos não há como calcular um valor numérico final.
Observação importante: neste passo eu só identifiquei o pedido e listei os dados fornecidos e os que faltam. Não comecei a resolver ainda.

Passo 2

Conceitos essenciais (explicação didática): o que é taxa de infiltração e infiltração acumulada
  • Definição da taxa de infiltração: a taxa de infiltração é a velocidade com que a água entra no solo num dado instante. Vou chamar essa taxa de \,f(t)\,, onde t é o tempo desde o início da aplicação. A unidade típica é \text{mm/h} (milímetros por hora).
  • Definição da infiltração acumulada: a infiltração acumulada até o tempo t, que denoto por \,F(t)\,, é a profundidade total de água que entrou no solo entre 0 e t. Matematicamente,
F(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,d\tau.
Aqui \tau é a variável de integração (tempo instantâneo). A unidade de F(t) é \text{mm} (profundidade de água acumulada).
  • Interpretação prática: se F(2\,\text{h})=20\\ \text{mm}, isso significa que, ao fim de 2 horas, o solo admitiu 20 mm de água no perfil sem gerar escoamento superficial.

Passo 3

Condição para não haver escoamento superficial
  • Para que não ocorra escoamento superficial, em cada instante a taxa de aplicação de água sobre a superfície, que denotarei por \,r(t)\, (também em \text{mm/h}), deve satisfazer
r(t)\le f(t)\qquad\text{para todo }t\in[0,2\\ \text{h}].
  • Se a aplicação for a uma intensidade constante R durante as 2 horas, a condição vira
R \le \min_{0\le t\le 2\,\text{h}} f(t).
  • Se a aplicação puder variar livremente durante as 2 horas, o máximo total de profundidade aplicável sem escoamento é limitado pela infiltração acumulada:
D_{\max}=F(2\,\text{h})=\int_{0}^{2\,\text{h}} f(\tau)\,d\tau.
Esse D_{\max} é a profundidade (em mm) de água que o solo consegue absorver sem gerar escoamento ao longo das 2 horas, dadas as condições iniciais do experimento 2.

Passo 4

Como transformar profundidade (mm) em volume por hectare (m³/ha) — passo prático e simples
  • Relação entre unidades:
    • 1\\ \text{ha}=10\,000\\ \text{m}^2.
    • 1\\ \text{mm}=0{,}001\\ \text{m}.
  • Volume correspondente a D milímetros sobre 1\\ \text{ha}:
V = D\\ (\text{mm}) \times 0{,}001\\ \text{m/mm} \times 10{,}000\\ \text{m}^2 = D \times 10\\ \text{m}^3.
Portanto, regra prática:
\text{Volume por hectare (m}^3\text{/ha)} = 10 \times D(\text{mm}).
Exemplo rápido: D=20\\ \text{mm}\Rightarrow V=20\times10=200\\ \text{m}^3/\text{ha}.

Passo 5

Resumo do procedimento para obter o resultado numérico (o “receita de bolo” para aplicar na prova)
  1. Obter a taxa de infiltração f(t) (ou a infiltração acumulada F(t)) do experimento do problema 2, considerando as condições iniciais de umidade do solo.
  2. Calcular a infiltração acumulada em 2 horas:
D_{\max}=F(2\,\text{h})=\int_{0}^{2\,\text{h}} f(\tau)\,d\tau\quad(\text{em mm}).
  1. Converter a profundidade em volume por hectare usando
V_{\max}=10\cdot D_{\max}\quad(\text{m}^3/\text{ha}).
  1. Se a aplicação for feita a intensidade constante R (mm/h), uma verificação útil é checar R\le\min_{[0,2h]} f(t). Nesse caso o volume aplicado é V=10\cdot(2R).

Passo 6

Exemplos numéricos didáticos (para fixar a ideia)
  • Exemplo A (taxa constante): se no experimento 2 a taxa de infiltração observada fosse constante em \,f(t)=30\\ \text{mm/h}\,, então
F(2\,\text{h})=30\times2=60\\ \text{mm},
e o volume por hectare seria
V_{\max}=10\times60=600\\ \text{m}^3/\text{ha}.
  • Exemplo B (modelo de Horton, só para ver a conta): suponha que f(t)=f_c+(f_0-f_c)e^{-kt}. A infiltração acumulada é
F(2\,\text{h})=f_c\cdot 2+\frac{f_0-f_c}{k}\bigl(1-e^{-2k}\bigr).
Depois é só multiplicar F(2\,\text{h}) por 10 para obter V_{\max} em \text{m}^3/\text{ha}.

Passo 7

Por que não posso dar um número final agora
  • O enunciado que você me enviou faz referência ao “experimento do problema 2” para obter as condições/infiltração. Eu não tenho acesso aos números ou à função f(t) ou à tabela de infiltração daquele problema 2.
  • Sem a função f(t) (ou os parâmetros/valores medidos de infiltração acumulada F(t)), não é possível calcular numericamente F(2\,\text{h}) e, portanto, não é possível dar um valor numérico para o volume por hectare.
  • Em vez disso, entreguei acima o procedimento completo e as fórmulas exatas que você deve aplicar ao dado do problema 2 para obter a resposta na prova — passo a passo, sem pular etapas.

Resposta

Não é possível calcular numericamente: faltam os dados de infiltração do problema 2 (a função \,f(t)\, ou a infiltração acumulada \,F(t)\,). Em termos gerais,
V_{\max}=10\cdot F(2\,\text{h})\\ \text{m}^3/\text{ha},
onde
F(2\,\text{h})=\int_{0}^{2\,\text{h}} f(\tau)\,d\tau\\ (\text{mm}).

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