Equação de Laplace em coordenadas cartesianas
(Valor: 0 , 5 pt.) Encontre a solução da Equação de Laplace em coordenadas cartesianas, para um problema em que, as condições de contorno são do tipo:
i) Periódicas em x;
ii) Não periódicas em y;
iii) Periódicas em z.
nabla^2 Phi(x, y, z) & =0 (partial^2partial x^2+partial^2partial y^2+partial^2partial z^2) Phi(x, y, z) & =0
Para Phi(x, y, z)=f(x) g(y) h(z), empregue o método de separação de variáveis e encontre a solução geral do problema.

Passo 1

Beleza, olha o que o exercício pede: a gente tem a Equação de Laplace em coordenadas cartesianas
nabla^2Phi(x,y,z)=0 Longrightarrow partial^2Phipartial x^2+partial^2Phipartial y^2+partial^2Phipartial z^2=0
com condições de contorno PERIÓDICAS em x e z e NÃO-PERIÓDICAS em y.
Conteúdo da matéria: separação de variáveis para PDEs e solução de ODEs.
O que vamos precisar:
  1. Supor uma solução produto .
  2. Transformar a PDE em três ODEs acopladas e separar por constantes.
  3. Resolver cada ODE lembrando as condições de contorno (periodicidade em x e z → senos e cossenos; em y → exponenciais).

Passo 2

Substituindo f''(x),g(y),h(z);+;f(x),g''(y),h(z);+;f(x),g(y),h''(z)=0 em f''(x)f(x)+g''(y)g(y)+h''(z)h(z)=0 :
Dividindo tudo por , dá
Cada parcela depende só de uma variável, então cada uma deve ser constante.

Passo 3

Chamamos
f''(x)f(x)=-kx^2, h''(z)h(z)=-kz^2, g''(y)g(y)=+(kx^2+kz^2)equiv K^2
Por quê?
  • Como x e z são periódicos, as ODEs e geram soluções senoidais.
  • A parte de y fica , que dá exponenciais (não é periódico).

Passo 4

Agora resolvemos cada ODE:
  1. Em x:
f''+kx^2 f=0 Longrightarrow f(x)=Acos(kx x)+Bsin(kx x),
com h''+kz^2 h=0 Longrightarrow h(z)=Ccos(kz z)+Dsin(kz z), (pra fechar o período em g''-K^2 g=0 Longrightarrow g(y)=E,e^K y+F,e^-K y, ).
2) Em z:
com .
3) Em y:
onde .

Passo 5

Aí a solução geral é a soma (superposição) de todos os modos Phi(x,y,z) =sumn,minZ [, Anmcos(kn x)cos(qm z) +Bnmsin(kn x)cos(qm z) +Cnmcos(kn x)sin(qm z) +Dnmsin(kn x)sin(qm z) ] ;times; (Enme^Knmy+Fnme^-Knmy), :
kn=2pi nLx, qm=2pi mLz, Knm=raizkn^2+qm^2
onde

Resposta

A solução geral da Equação de Laplace, com periodicidade em boxed Phi(x,y,z) =sumn,minZ [Anmcos(kn x)cos(qm z) +Bnmsin(kn x)cos(qm z) +Cnmcos(kn x)sin(qm z) +Dnmsin(kn x)sin(qm z)] ;(Enme^Knmy+Fnme^-Knmy), (período kn=tfrac2pi nLx, qm=tfrac2pi mLz, Knm=raizkn^2+qm^2, ) e em (período ), e sem periodicidade em , é
com
e os coeficientes fixados pelas condições de contorno específicas.

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