Equação de Laplace em coordenadas cartesianas
(Valor:
pt.) Encontre a solução da Equação de Laplace em coordenadas cartesianas, para um problema em que, as condições de contorno são do tipo:
i) Periódicas em
;
ii) Não periódicas em
;
iii) Periódicas em
.
Para
, empregue o método de separação de variáveis e encontre a solução geral do problema.
(Valor:
i) Periódicas em
ii) Não periódicas em
iii) Periódicas em
Passo 1
Beleza, olha o que o exercício pede: a gente tem a Equação de Laplace em coordenadas cartesianas
com condições de contorno PERIÓDICAS em x e z e NÃO-PERIÓDICAS em y.
Conteúdo da matéria: separação de variáveis para PDEs e solução de ODEs.
O que vamos precisar:
Conteúdo da matéria: separação de variáveis para PDEs e solução de ODEs.
O que vamos precisar:
- Supor uma solução produto
. - Transformar a PDE em três ODEs acopladas e separar por constantes.
- Resolver cada ODE lembrando as condições de contorno (periodicidade em x e z → senos e cossenos; em y → exponenciais).
Passo 2
Substituindo
em
:
Dividindo tudo por
, dá
Cada parcela depende só de uma variável, então cada uma deve ser constante.
Passo 3
Chamamos
Por quê?
- Como x e z são periódicos, as ODEs
e geram soluções senoidais. - A parte de y fica
, que dá exponenciais (não é periódico).
Passo 4
Agora resolvemos cada ODE:
- Em x:
com
(pra fechar o período em
).
2) Em z:
2) Em z:
com
.
3) Em y:
3) Em y:
onde
.
Passo 5
Aí a solução geral é a soma (superposição) de todos os modos
:
onde
Resposta
A solução geral da Equação de Laplace, com periodicidade em
(período
) e em
(período
), e sem periodicidade em
, é
com
e os coeficientes
fixados pelas condições de contorno específicas.