Equação Laplace em coordenadas esféricas
(Valor: 2,5 pt.) Uma carga específica de densidade está colada sobre a superfície de uma casca esférica de raio (onde é uma constante.). Encontre o potencial resultante, dentro e fora da esfera.
Passo 1
Vamos entender o que foi pedido. Temos uma distribuição de carga específica na superfície de uma esfera, onde a densidade superficial é . Queremos encontrar o potencial elétrico resultante tanto dentro quanto fora dessa esfera. Para isso, vamos usar a equação de Laplace em coordenadas esféricas e aplicá-la às regiões interna e externa da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação de Laplace em coordenadas esféricas, quando não há cargas presentes (dentro e fora da esfera), é dada por:
A solução geral para essa equação, considerando a simetria esférica, envolve funções de Legendre.
Passo 3
Como a densidade de carga depende de , vamos expandir o potencial em uma série de harmônicos esféricos. A solução geral para o potencial fora da esfera () e dentro da esfera () é:
Para :
Para :
Onde são os polinômios de Legendre.
Passo 4
Como a densidade de carga é da forma , que corresponde ao termo , vamos considerar apenas o termo na série, pois os outros termos não contribuem significativamente:
Para :
Para :
Passo 5
Agora, aplicamos as condições de contorno. O potencial deve ser contínuo na superfície , e a descontinuidade no campo elétrico está relacionada à densidade superficial de carga.
Primeiro, igualamos os potenciais na superfície:
Passo 6
A segunda condição envolve a descontinuidade da derivada do potencial, que é proporcional à densidade de carga superficial:
Calculando as derivadas:
partial Vforapartial r = A1 - 2 B1 r^-3 em r=R
partial Vdentropartial r = C1 cos theta em r=R
Substituindo na condição:
A1 - 2 B1R^3 - C1 = -K0varepsilon0
Passo 7
Agora, temos um sistema de duas equações para resolver:
Da continuidade do potencial:
A1 R + B1R^2 = C1 R
Da descontinuidade do campo elétrico:
A1 - 2 B1R^3 - C1 = -K0varepsilon0
Assumimos que, no infinito, o potencial tende a zero, então A1 = 0. Substituindo na primeira equação: