Equação Laplace em coordenadas esféricas
(Valor: 2,5 pt.) Uma carga específica de densidade sigma(theta)=K0 cos (theta) está colada sobre a superfície de uma casca esférica de raio R (onde K0 é uma constante.). Encontre o potencial resultante, dentro e fora da esfera.

Passo 1

Vamos entender o que foi pedido. Temos uma distribuição de carga específica na superfície de uma esfera, onde a densidade superficial é sigma(theta) = K0 cos(theta). Queremos encontrar o potencial elétrico resultante tanto dentro quanto fora dessa esfera. Para isso, vamos usar a equação de Laplace em coordenadas esféricas e aplicá-la às regiões interna e externa da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação de Laplace em coordenadas esféricas, quando não há cargas presentes (dentro e fora da esfera), é dada por:
nabla^2 V = 0
A solução geral para essa equação, considerando a simetria esférica, envolve funções de Legendre.

Passo 3

Como a densidade de carga depende de theta, vamos expandir o potencial em uma série de harmônicos esféricos. A solução geral para o potencial fora da esfera ( r > R) e dentro da esfera ( r < R) é:
Para r > R:
Vfora(r, theta) = suml=0^infty ( Al r^l + Bl r^-(l+1) ) Pl(cos theta)
Para r < R:
Vdentro(r, theta) = suml=0^infty Cl r^l Pl(cos theta)
Onde Pl são os polinômios de Legendre.

Passo 4

Como a densidade de carga é da forma sigma(theta) = K0 cos(theta), que corresponde ao termo P1(cos theta), vamos considerar apenas o termo l=1 na série, pois os outros termos não contribuem significativamente:
Para r > R:
Vfora(r, theta) = ( A1 r + B1 r^-2 ) cos theta
Para r < R:
Vdentro(r, theta) = C1 r cos theta

Passo 5

Agora, aplicamos as condições de contorno. O potencial deve ser contínuo na superfície r = R, e a descontinuidade no campo elétrico está relacionada à densidade superficial de carga.
Primeiro, igualamos os potenciais na superfície:
A1 R + B1 R^-2 = C1 R

Passo 6

A segunda condição envolve a descontinuidade da derivada do potencial, que é proporcional à densidade de carga superficial:
partial Vforapartial r - partial Vdentropartial r |r=R = -sigma(R)varepsilon0 = -K0 cos thetavarepsilon0
Calculando as derivadas:
partial Vforapartial r = A1 - 2 B1 r^-3 em r=R
partial Vdentropartial r = C1 cos theta em r=R
Substituindo na condição:
A1 - 2 B1R^3 - C1 = -K0varepsilon0

Passo 7

Agora, temos um sistema de duas equações para resolver:
  1. Da continuidade do potencial:
A1 R + B1R^2 = C1 R
  1. Da descontinuidade do campo elétrico:
A1 - 2 B1R^3 - C1 = -K0varepsilon0
Assumimos que, no infinito, o potencial tende a zero, então A1 = 0. Substituindo na primeira equação:
0 + B1R^2 = C1 R implies B1 = C1 R^3
Substituindo B1 na segunda equação:
0 - 2 C1 R^3R^3 - C1 = -K0varepsilon0 implies -3 C1 = -K0varepsilon0 implies C1 = K03 varepsilon0
Então:
B1 = C1 R^3 = K0 R^33 varepsilon0

Resposta

O potencial resultante é:
Para r > R:
Vfora(r, theta) = K0 R^33 varepsilon0 cdot cos thetar^2
Para r < R:
Vdentro(r, theta) = K03 varepsilon0 cdot r cos theta

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