Equação Laplace em coordenadas esféricas
(Valor:
pt.) O potencial
é especificado na superfície de uma esfera oca, de raio
. Encontre o potencial dentro e fora da esfera.
(Valor:
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é resolver a equação de Laplace em coordenadas esféricas, sabendo que na casca de uma esfera oca (raio R) o potencial é dado por
O que a gente quer é achar o potencial dentro (
) e fora (
) da esfera.
Conteúdo: solução geral da equação de Laplace com simetria azimutal (dependência só de e
), expansão em polinômios de Legendre e imposição de condições de contorno.
Conteúdo: solução geral da equação de Laplace com simetria azimutal (dependência só de
Passo 2
Primeiro, a teoria básica:
- Em coordenadas esféricas, para problemas sem dependência de
, a solução geral de Laplace é - Dentro (
): - Fora (
):
é o polinômio de Legendre de ordem . - Dentro (
- A gente usa esses termos porque eles satisfazem
e formam uma base ortonormal em .
Passo 3
Agora botar a condição de contorno
.
• Como
e
, a gente exige
[
\sum_{l=0}^\infty A_l,R^l,P_l(\cos\theta)
\sum_{l=0}^\infty B_l,R^{-(l+1)},P_l(\cos\theta)
=K_0,\sin!\tfrac\theta2.
]
=K_0,\sin!\tfrac\theta2.
]
• Pelo comportamento físico, dentro a gente não pode ter termos divergentes em
, então em
só o
está ok (nenhum termo
).
• Fora, para o potencial tem que cair, então só sobra
.
• Fora, para
Para achar os coeficientes
ou
tu usa a ortonormalidade dos
:
Multiplicando ambos os lados de
por e integrando em
, a gente descobre
por
Logo
E, pela continuidade do potencial em
, a gente tem também
Passo 4
Em suma, definindo
ficamos com
- Dentro (
): - Fora (
):
Resposta
V_{\rm in}(r,\theta)=\sum_{l=0}{\infty}\Bigl[\frac{2l+1}{2}K_0!\int_{0}{\pi}!
\sin!\tfrac\theta2,P_l(\cos\theta),\sin\theta,d\theta\Bigr]!(\tfrac rR)^{l}P_l(\cos\theta),
\sin!\tfrac\theta2,P_l(\cos\theta),\sin\theta,d\theta\Bigr]!(\tfrac rR)^{l}P_l(\cos\theta),
V_{\rm out}(r,\theta)=\sum_{l=0}{\infty}\Bigl[\frac{2l+1}{2}K_0!\int_{0}{\pi}!
\sin!\tfrac\theta2,P_l(\cos\theta),\sin\theta,d\theta\Bigr]!(\tfrac Rr)^{l+1}P_l(\cos\theta).
\sin!\tfrac\theta2,P_l(\cos\theta),\sin\theta,d\theta\Bigr]!(\tfrac Rr)^{l+1}P_l(\cos\theta).