Equação Laplace em coordenadas esféricas
(Valor: 2 , 5 pt.) O potencial V(theta)=K0 sin (theta2) é especificado na superfície de uma esfera oca, de raio R. Encontre o potencial dentro e fora da esfera.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é resolver a equação de Laplace em coordenadas esféricas, sabendo que na casca de uma esfera oca (raio R) o potencial é dado por
V(R,theta)=K0,sin!l(tfractheta2r)
O que a gente quer é achar o potencial dentro ( ) e fora ( ) da esfera.
Conteúdo: solução geral da equação de Laplace com simetria azimutal (dependência só de e ), expansão em polinômios de Legendre e imposição de condições de contorno.

Passo 2

Primeiro, a teoria básica:
  1. Em coordenadas esféricas, para problemas sem dependência de Vrm in(r,theta)=suml=0^infty Al,r^l,Pl(costheta), , a solução geral de Laplace é
    • Dentro ( Vrm out(r,theta)=suml=0^infty Bl,r^-(l+1),Pl(costheta) ):
    • Fora ( ):
    Aqui é o polinômio de Legendre de ordem .
  2. A gente usa esses termos porque eles satisfazem e formam uma base ortonormal em .

Passo 3

Agora botar a condição de contorno suml=0^infty Al,R^l,Pl(costheta) = suml=0^infty Bl,R^-(l+1),Pl(costheta) =K0,sin!tfractheta2 .
• Como integral0^piPl(costheta),Pl'(costheta),sintheta,dtheta =22l+1,de e Al',R^l';22l'+1 ;=; K0integral0^pisin!tfractheta2;Pl'(costheta),sintheta,dtheta , a gente exige
[
\sum_{l=0}^\infty A_l,R^l,P_l(\cos\theta)

\sum_{l=0}^\infty B_l,R^{-(l+1)},P_l(\cos\theta)
=K_0,\sin!\tfrac\theta2.
]
• Pelo comportamento físico, dentro a gente não pode ter termos divergentes em Al ;=;2l+12,R^l;K0; integral0^pisin!tfractheta2;Pl(costheta),sintheta,dtheta , então em Bl,R^-(l+1)=Al,R^l Longrightarrow Bl=Al,R^2l+1 só o está ok (nenhum termo ).
• Fora, para o potencial tem que cair, então só sobra .
Para achar os coeficientes ou tu usa a ortonormalidade dos :
Multiplicando ambos os lados de

por e integrando em , a gente descobre
Logo
E, pela continuidade do potencial em , a gente tem também

Passo 4

Em suma, definindo
al=2l+12,K0 integral0^pisin!tfractheta2;Pl(costheta),sintheta,dtheta,
ficamos com
  • Dentro ( Vrm in(r,theta) =suml=0^inftyal, l(tfrac rRr)^!l,Pl(costheta) ): Vrm out(r,theta) =suml=0^inftyal, l(tfrac Rrr)^!l+1,Pl(costheta)
  • Fora ( ):

Resposta

V_{\rm in}(r,\theta)=\sum_{l=0}{\infty}\Bigl[\frac{2l+1}{2}K_0!\int_{0}{\pi}!
\sin!\tfrac\theta2,P_l(\cos\theta),\sin\theta,d\theta\Bigr]!(\tfrac rR)^{l}P_l(\cos\theta),
V_{\rm out}(r,\theta)=\sum_{l=0}{\infty}\Bigl[\frac{2l+1}{2}K_0!\int_{0}{\pi}!
\sin!\tfrac\theta2,P_l(\cos\theta),\sin\theta,d\theta\Bigr]!(\tfrac Rr)^{l+1}P_l(\cos\theta).

Exercícios relacionados