Um fóton com comprimento de onda
incide sobre um elétron que se encontra inicialmente em repouso. Se o fóton se espalha formando um ângulo de
com sua direção original, quais são o módulo e a direção do momento linear do elétron logo após a colisão com o fóton?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um fóton com comprimento de onda
que atinge um elétron que estava parado. Depois da colisão, o fóton se espalha fazendo um ângulo de
com a direção original. Nosso objetivo é descobrir qual é o módulo (tamanho) e a direção do momento linear que o elétron ganha logo após essa colisão.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de momentum linear na física, que trata da quantidade de movimento das partículas. Precisamos aplicar a conservação do momento linear, que diz que o momento total antes da colisão é igual ao momento total depois da colisão.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o momento inicial do fóton. O momentum (
) de um fóton pode ser calculado pela fórmula:
onde
é a constante de Planck (
) e
é o comprimento de onda.
Passo 3
Substituindo os valores:
Passo 4
Após a colisão, o fóton tem um novo momentum. Sabemos que o ângulo de espalhamento é
, então podemos decompor o momentum final do fóton em componentes horizontal (
) e vertical (
):
onde
é o momentum do fóton após a colisão.
Passo 5
Como o elétron estava inicialmente em repouso, o momentum inicial total do sistema é apenas o do fóton inicial. Pela conservação do momentum, o momentum total após a colisão deve ser igual ao inicial. Portanto:
Mas precisamos considerar as direções. Vamos usar as componentes para facilitar.
Passo 6
Assumindo que a direção original do fóton seja o eixo x, temos:
- Momentum inicial do fóton:
- Momentum final do fóton:
- Momentum do elétron:
Pela conservação:
Passo 7
Precisamos encontrar o valor de
, o momentum final do fóton. Usamos a relação da dispersão Compton para calcular o novo comprimento de onda do fóton:
onde
é a massa do elétron (
),
é a velocidade da luz (
) e
.
Passo 8
Calculando
:
Note que a alteração é muito pequena devido ao pequeno ângulo.
Passo 9
Agora, calculamos o momentum final do fóton:
Passo 10
Voltando às equações da conservação do momentum:
Substituindo os valores:
Passo 11
O módulo do momentum do elétron é dado por:
Passo 12
Para encontrar a direção, calculamos o ângulo que o momentum do elétron faz com a direção original (eixo x):
Isso significa que o elétron se move para baixo, formando um ângulo de
abaixo do eixo x.
Resposta
O elétron adquire um momento linear de módulo aproximadamente
, dirigindo-se a
abaixo da direção original do fóton.