Um fóton com comprimento de onda lambda=0,1050 nm incide sobre um elétron que se encontra inicialmente em repouso. Se o fóton se espalha formando um ângulo de 60,0^circ com sua direção original, quais são o módulo e a direção do momento linear do elétron logo após a colisão com o fóton?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um fóton com comprimento de onda lambda = 0,1050 , nm que atinge um elétron que estava parado. Depois da colisão, o fóton se espalha fazendo um ângulo de 60,0^circ com a direção original. Nosso objetivo é descobrir qual é o módulo (tamanho) e a direção do momento linear que o elétron ganha logo após essa colisão.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de momentum linear na física, que trata da quantidade de movimento das partículas. Precisamos aplicar a conservação do momento linear, que diz que o momento total antes da colisão é igual ao momento total depois da colisão.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento inicial do fóton. O momentum ( p) de um fóton pode ser calculado pela fórmula:
p = hlambda
onde h é a constante de Planck ( 6,626 times 10^-34 , J cdot s) e lambda é o comprimento de onda.

Passo 3

Substituindo os valores:
pfóton inicial = 6,626 times 10^-34 , J cdot s0,1050 times 10^-9 , m approx 6,306 times 10^-24 , kg cdot m/s ó

Passo 4

Após a colisão, o fóton tem um novo momentum. Sabemos que o ângulo de espalhamento é 60,0^circ, então podemos decompor o momentum final do fóton em componentes horizontal ( px') e vertical ( py'):
px' = p' cos(60^circ) py' = p' sin(60^circ)
onde p' é o momentum do fóton após a colisão.

Passo 5

Como o elétron estava inicialmente em repouso, o momentum inicial total do sistema é apenas o do fóton inicial. Pela conservação do momentum, o momentum total após a colisão deve ser igual ao inicial. Portanto:
pelétron = pfóton inicial - pfóton final éóó
Mas precisamos considerar as direções. Vamos usar as componentes para facilitar.

Passo 6

Assumindo que a direção original do fóton seja o eixo x, temos:
  • Momentum inicial do fóton: (pfóton inicial, 0)ó
  • Momentum final do fóton: (p' cos(60^circ), p' sin(60^circ))
  • Momentum do elétron: (pex, pey)
Pela conservação:
pfóton inicial = p' cos(60^circ) + pex 0 = p' sin(60^circ) + pey ó

Passo 7

Precisamos encontrar o valor de p', o momentum final do fóton. Usamos a relação da dispersão Compton para calcular o novo comprimento de onda do fóton:
lambda' = lambda + hme c (1 - cos theta)
onde me é a massa do elétron ( 9,109 times 10^-31 , kg), c é a velocidade da luz ( 3,00 times 10^8 , m/s) e theta = 60^circ.

Passo 8

Calculando lambda':
hme c = 6,626 times 10^-349,109 times 10^-31 times 3,00 times 10^8 approx 2,426 times 10^-12 , m lambda' = 0,1050 times 10^-9 + 2,426 times 10^-12 times (1 - cos 60^circ) lambda' = 0,1050 times 10^-9 + 2,426 times 10^-12 times (1 - 0,5) lambda' = 0,1050 times 10^-9 + 1,213 times 10^-12 lambda' approx 0,1050 times 10^-9 , m
Note que a alteração é muito pequena devido ao pequeno ângulo.

Passo 9

Agora, calculamos o momentum final do fóton:
p' = hlambda' approx 6,626 times 10^-340,1050 times 10^-9 approx 6,306 times 10^-24 , kg cdot m/s

Passo 10

Voltando às equações da conservação do momentum:
pex = pfóton inicial - p' cos(60^circ) pey = -p' sin(60^circ) ó
Substituindo os valores:
pex = 6,306 times 10^-24 - 6,306 times 10^-24 times 0,5 approx 3,153 times 10^-24 , kg cdot m/s pey = -6,306 times 10^-24 times raiz32 approx -5,468 times 10^-24 , kg cdot m/s

Passo 11

O módulo do momentum do elétron é dado por:
pe = raizpex^2 + pey^2 pe = raiz(3,153 times 10^-24)^2 + (-5,468 times 10^-24)^2 pe approx raiz9,923 times 10^-48 + 29,88 times 10^-48 pe approx raiz39,803 times 10^-48 approx 6,306 times 10^-24 , kg cdot m/s

Passo 12

Para encontrar a direção, calculamos o ângulo que o momentum do elétron faz com a direção original (eixo x):
tan theta = peypex theta = tan^-1 ( -5,468 times 10^-243,153 times 10^-24 ) approx -60,0^circ
Isso significa que o elétron se move para baixo, formando um ângulo de 60,0^circ abaixo do eixo x.

Resposta

O elétron adquire um momento linear de módulo aproximadamente 6,31 times 10^-24 , kg cdot m/s, dirigindo-se a 60,0^circ abaixo da direção original do fóton.

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