Equação Laplace em coordenadas esféricas
(Valor: 2,0 pt.) Encontre a solução da Equação de Laplace, no sistema de coordenadas esféricas,
, para os seguintes casos:
(Valor: 0,2 pt.) Sistema com simetrias radial e azimutal
;
(Valor: 2,0 pt.) Encontre a solução da Equação de Laplace, no sistema de coordenadas esféricas,
(Valor: 0,2 pt.) Sistema com simetrias radial e azimutal
Passo 1
Beleza, a questão pede para a gente achar as “funções V” que satisfazem a equação de Laplace em coordenadas esféricas
mas com simetria radial e azimutal, ou seja, V não depende de
nem de
, só de
.
Conteúdo envolvido:
Conteúdo envolvido:
- Expressão do Laplaciano em coordenadas esféricas.
- Resolução de uma equação diferencial ordinária em
.
Passo 2
Como
, todas as derivadas parciais em
e
viram zero. A parte do Laplaciano que sobra é
Aqui usamos que, em geral,
Passo 3
Agora resolvemos a ODE
Integrando uma vez em
:
onde
é constante de integração.
Passo 4
Isolamos
e integramos de novo:
Sabendo que
, vem
sendo
outra constante de integração.
Resposta
com
e
constantes determinadas pelas condições de contorno.