Equação Laplace em coordenadas esféricas
(Valor: 2,0 pt.) Encontre a solução da Equação de Laplace, no sistema de coordenadas esféricas, nabla^2 V(r ; theta ; varphi)=0, para os seguintes casos:
(Valor: 0,2 pt.) Sistema com simetrias radial e azimutal (V(theta));

Passo 1

Beleza, a questão pede para a gente achar as “funções V” que satisfazem a equação de Laplace em coordenadas esféricas
nabla^2 V(r,theta,varphi)=0
mas com simetria radial e azimutal, ou seja, V não depende de nem de , só de .
Conteúdo envolvido:
  • Expressão do Laplaciano em coordenadas esféricas.
  • Resolução de uma equação diferencial ordinária em .

Passo 2

Como nabla^2 V =1r^2sinthetaddthetal(sintheta,dVdthetar) =0 , todas as derivadas parciais em nabla^2V =1r^2partialpartial rl(r^2partial Vpartial rr) +1r^2sinthetapartialpartialthetal(sintheta,partial Vpartialthetar) +1r^2sin^2thetapartial^2 Vpartialvarphi^2 e viram zero. A parte do Laplaciano que sobra é
Aqui usamos que, em geral,

Passo 3

Agora resolvemos a ODE
1r^2sintheta,ddthetal(sintheta,V'(theta)r)=0 Longrightarrow ddthetal(sintheta,V'(theta)r)=0
Integrando uma vez em sintheta,V'(theta)=C1, :
onde é constante de integração.

Passo 4

Isolamos V'(theta)=C1sintheta, Longrightarrow V(theta)=C1integraldthetasintheta+C2 e integramos de novo:
V(theta) = C1ln!l(tantheta2r);+;C2,
Sabendo que , vem
sendo outra constante de integração.

Resposta

boxedV(theta)=A;ln!l(tantheta2r);+;B,
com e constantes determinadas pelas condições de contorno.

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