Um raio X com
de comprimento de onda colide com um elétron inicialmente em repouso. O comprimento de onda final do raio X é
. Qual é a energia cinética final do elétron?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um raio X com comprimento de onda inicial de
que bate num elétron parado. Depois da colisão, o raio X sai com comprimento de onda final de
. A pergunta é: qual a energia cinética final desse elétron? Vamos usar conceitos de dispersão Compton e conservação de energia e quantidade de movimento para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que quando um raio X colide com um elétron, ocorre uma troca de energia e quantidade de movimento entre eles. O comprimento de onda do raio X muda devido a essa colisão, e essa mudança está relacionada à energia que o elétron ganha.
Passo 3
Vamos usar a fórmula de Compton para relacionar a mudança no comprimento de onda (
) com a energia transferida para o elétron. A mudança no comprimento de onda é dada por:
Onde:
-
é o comprimento de onda inicial do raio X. -
é o comprimento de onda final do raio X. -
é a constante de Planck ( ). -
é a massa do elétron ( ). -
é a velocidade da luz ( ). -
é o ângulo de dispersão (nesse caso, não precisamos conhecer diretamente).
Passo 4
No nosso caso, sabemos o comprimento de onda inicial e final, então podemos encontrar
:
Passo 5
Agora, queremos relacionar essa mudança de comprimento de onda com a energia transferida ao elétron. A energia do fóton está relacionada ao seu comprimento de onda pela fórmula:
Portanto, a energia inicial (
) e a energia final (
) do raio X são:
Passo 6
A energia transferida para o elétron é a diferença entre a energia inicial e a final do raio X:
Passo 7
Vamos calcular os valores:
Passo 8
Agora, substituímos na fórmula da energia cinética:
Passo 9
Para deixar a resposta mais prática, vamos converter a energia de joules para elétron-volts (eV), onde
:
Resposta
A energia cinética final do elétron é de aproximadamente 1,13 keV.