Um raio X com 0,100 nm de comprimento de onda colide com um elétron inicialmente em repouso. O comprimento de onda final do raio X é 0,110 nm. Qual é a energia cinética final do elétron?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um raio X com comprimento de onda inicial de 0,100, nm que bate num elétron parado. Depois da colisão, o raio X sai com comprimento de onda final de 0,110, nm. A pergunta é: qual a energia cinética final desse elétron? Vamos usar conceitos de dispersão Compton e conservação de energia e quantidade de movimento para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que quando um raio X colide com um elétron, ocorre uma troca de energia e quantidade de movimento entre eles. O comprimento de onda do raio X muda devido a essa colisão, e essa mudança está relacionada à energia que o elétron ganha.

Passo 3

Vamos usar a fórmula de Compton para relacionar a mudança no comprimento de onda ( De) com a energia transferida para o elétron. A mudança no comprimento de onda é dada por:
De
Onde:
  • lambdai é o comprimento de onda inicial do raio X.
  • lambdaf é o comprimento de onda final do raio X.
  • h é a constante de Planck ( 6,626 times 10^-34, J·s).
  • me é a massa do elétron ( 9,109 times 10^-31, kg).
  • c é a velocidade da luz ( 3,00 times 10^8, m/s).
  • theta é o ângulo de dispersão (nesse caso, não precisamos conhecer theta diretamente).

Passo 4

No nosso caso, sabemos o comprimento de onda inicial e final, então podemos encontrar De:
De

Passo 5

Agora, queremos relacionar essa mudança de comprimento de onda com a energia transferida ao elétron. A energia do fóton está relacionada ao seu comprimento de onda pela fórmula:
E = h clambda
Portanto, a energia inicial ( Ei) e a energia final ( Ef) do raio X são:
Ei = h clambdai e Ef = h clambdaf

Passo 6

A energia transferida para o elétron é a diferença entre a energia inicial e a final do raio X:
KE = Ei - Ef = h clambdai - h clambdaf = h c ( 1lambdai - 1lambdaf )

Passo 7

Vamos calcular os valores:
1lambdai = 10,100 times 10^-9, m = 1,0 times 10^10, m^-1
1lambdaf = 10,110 times 10^-9, m approx 9,09 times 10^9, m^-1
1lambdai - 1lambdaf approx 1,0 times 10^10 - 9,09 times 10^9 = 9,09 times 10^8, m^-1

Passo 8

Agora, substituímos na fórmula da energia cinética:
KE = h c times 9,09 times 10^8, m^-1
KE = (6,626 times 10^-34, J·s) times (3,00 times 10^8, m/s) times 9,09 times 10^8, m^-1
KE approx 1,807 times 10^-16, J

Passo 9

Para deixar a resposta mais prática, vamos converter a energia de joules para elétron-volts (eV), onde 1, eV = 1,602 times 10^-19, J:
KE approx 1,807 times 10^-16, J1,602 times 10^-19, J/eV approx 1,13 times 10^3, eV = 1,13, keV

Resposta

A energia cinética final do elétron é de aproximadamente 1,13 keV.

Exercícios relacionados