Equação de Laplace em coordenadas polares
(Valor: 0,5 pt.) Deduza a forma polar da Equação de Laplace a partir da seguinte mudança de variáveis:
Considere
, tal que
.
Resposta:
(Valor: 0,5 pt.) Deduza a forma polar da Equação de Laplace a partir da seguinte mudança de variáveis:
Resposta:
Passo 1
Opa! Vamos resolver esse exercício sobre a Equação de Laplace em coordenadas polares. A questão pede para deduzirmos a forma polar da Equação de Laplace usando a mudança de variáveis que relaciona
e
com
e
. Para isso, vamos precisar entender como transformar derivadas parciais de
e
para
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Equação de Laplace é dada por:
Essa equação é importante em várias áreas da física, como eletrostática e mecânica dos fluidos.
Passo 3
Agora, vamos fazer a mudança de coordenadas para coordenadas polares:
Com isso, precisamos expressar as derivadas parciais em
e
em termos de
e
.
Passo 4
Utilizamos a Regra da Cadeia para calcular as derivadas parciais. Primeiro, calculamos as derivadas de
e
em relação a
e
:
Passo 5
Agora, as derivadas primeiras de
em termos de
e
são:
Mas, como $ \rho = \sqrt{x^2 + y^2} $ e $ \theta = \arctan(y/x) $, as derivadas cruzadas se cancelam, simplificando as expressões.
Passo 6
Calculando as derivadas segundas necessárias e somando-as, obtemos a forma polar da Equação de Laplace:
Resposta
A forma polar da Equação de Laplace é: