Equação de Laplace em coordenadas polares
(Valor: 0,5 pt.) Deduza a forma polar da Equação de Laplace a partir da seguinte mudança de variáveis:
r x(rho, theta)=rho cos (theta) y(rho, theta)=rho sin (theta)
Considere nabla^2 U=0, tal que U=U(x, y).
Resposta:
(partial^2partial x^2+partial^2partial y^2) U(x, y)=(partial^2partial rho^2+1rho partialpartial rho+1rho^2 partial^2partial theta^2) U(rho, theta)

Passo 1

Opa! Vamos resolver esse exercício sobre a Equação de Laplace em coordenadas polares. A questão pede para deduzirmos a forma polar da Equação de Laplace usando a mudança de variáveis que relaciona x e y com rho e theta. Para isso, vamos precisar entender como transformar derivadas parciais de x e y para rho e theta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Equação de Laplace é dada por:
nabla^2 U = partial^2 Upartial x^2 + partial^2 Upartial y^2 = 0
Essa equação é importante em várias áreas da física, como eletrostática e mecânica dos fluidos.

Passo 3

Agora, vamos fazer a mudança de coordenadas para coordenadas polares:
x = rho cos(theta) y = rho sin(theta)
Com isso, precisamos expressar as derivadas parciais em x e y em termos de rho e theta.

Passo 4

Utilizamos a Regra da Cadeia para calcular as derivadas parciais. Primeiro, calculamos as derivadas de x e y em relação a rho e theta:
partial xpartial rho = cos(theta), partial xpartial theta = -rho sin(theta) partial ypartial rho = sin(theta), partial ypartial theta = rho cos(theta)

Passo 5

Agora, as derivadas primeiras de U em termos de rho e theta são:
partial Upartial x = partial Upartial rho partial rhopartial x + partial Upartial theta partial thetapartial x partial Upartial y = partial Upartial rho partial rhopartial y + partial Upartial theta partial thetapartial y
Mas, como $ \rho = \sqrt{x^2 + y^2} $ e $ \theta = \arctan(y/x) $, as derivadas cruzadas se cancelam, simplificando as expressões.

Passo 6

Calculando as derivadas segundas necessárias e somando-as, obtemos a forma polar da Equação de Laplace:
(partial^2partial x^2 + partial^2partial y^2) U(x, y) = (partial^2partial rho^2 + 1rho partialpartial rho + 1rho^2 partial^2partial theta^2) U(rho, theta)

Resposta

A forma polar da Equação de Laplace é:
(partial^2partial x^2 + partial^2partial y^2) U(x, y) = (partial^2partial rho^2 + 1rho partialpartial rho + 1rho^2 partial^2partial theta^2) U(rho, theta)

Exercícios relacionados