Equação de Laplace em coordenadas cartesianas
(Valor: .) Considere uma caixa retangular submetida ás condições de contorno
Encontre o potencial elétrico dentro da caixa, utilizando as superposições convenientes.
Passo 1
Beleza, o problema é o seguinte: a gente tem uma caixa retangular com arestas de tamanho nabla^2 V=0 , V(0,y,z)=0, & V(a,y,z)=V0, V(x,0,z)=0, & V(x,b,z)=V0sin(x), V(x,y,0)=0, & V(x,y,c)=V0cos(y) e . Dentro dela o potencial satisfaz a equação de Laplace
e nas seis faces da caixa as condições de contorno são
O conteúdo envolvido é Método de Separação de Variáveis e Superposição de Soluções para a equação de Laplace. Vamos precisar:
Entender que Laplace é linear, então podemos quebrar o problema em três subproblemas (superposição).
Para cada subproblema usar Separação de Variáveis e expansão em série de Fourier para ajustar a condição não-nula só em uma face.
Passo 2
Primeiro, dividimos o potencial total em três partes, cada uma atendendo a apenas uma “face” não trivial:
V(x,y,z)=Vx(x)+Vy(x,y)+Vz(y,z)
Aqui:
cuida da condição em e (as outras faces ficam em zero).
cuida de e .
cuida de e .
Passo 3
Resolvendo d^2Vxdx^2=0, :
A equação reduz a
Vx(x)=V0a,x
com e . Integrando duas vezes a gente acha a reta
Passo 4
Resolvendo partial^2Vypartial x^2 + partial^2Vypartial y^2 = 0, :
Aqui a gente assume Vy(0,y)=0, Vy(a,y)=0, Vy(x,0)=0, Vy(x,b)=V0sin(x) independe de X''X=-Y''Y=lambda, , então Laplace vira