Equação de Laplace em coordenadas cartesianas
(Valor: 2 , 5 pt.) Considere uma caixa retangular submetida ás condições de contorno
V(x, y, z) Rightarrowlll V(0, y, z)=0 & e & V(a, y, z)=V0 V(x, 0, z)=0 & e & V(x, b, z)=V0 sin (x) V(x, y, 0)=0 & e & V(x, y, c)=V0 cos (y)
Encontre o potencial elétrico dentro da caixa, utilizando as superposições convenientes.

Passo 1

Beleza, o problema é o seguinte: a gente tem uma caixa retangular com arestas de tamanho nabla^2 V=0 , V(0,y,z)=0, & V(a,y,z)=V0, V(x,0,z)=0, & V(x,b,z)=V0sin(x), V(x,y,0)=0, & V(x,y,c)=V0cos(y) e . Dentro dela o potencial satisfaz a equação de Laplace
e nas seis faces da caixa as condições de contorno são
O conteúdo envolvido é Método de Separação de Variáveis e Superposição de Soluções para a equação de Laplace. Vamos precisar:
  1. Entender que Laplace é linear, então podemos quebrar o problema em três subproblemas (superposição).
  2. Para cada subproblema usar Separação de Variáveis e expansão em série de Fourier para ajustar a condição não-nula só em uma face.

Passo 2

Primeiro, dividimos o potencial total em três partes, cada uma atendendo a apenas uma “face” não trivial:
V(x,y,z)=Vx(x)+Vy(x,y)+Vz(y,z)
Aqui:
  • cuida da condição em e (as outras faces ficam em zero).
  • cuida de e .
  • cuida de e .

Passo 3

Resolvendo d^2Vxdx^2=0, :
A equação reduz a
Vx(x)=V0a,x
com e . Integrando duas vezes a gente acha a reta

Passo 4

Resolvendo partial^2Vypartial x^2 + partial^2Vypartial y^2 = 0, :
Aqui a gente assume Vy(0,y)=0, Vy(a,y)=0, Vy(x,0)=0, Vy(x,b)=V0sin(x) independe de X''X=-Y''Y=lambda, , então Laplace vira
Yn(y)=Ansinh!l(tfracnpi yar)
com contorno
V0sin(x)=sumn=1^inftyBnsin!l(tfracnpi xar), Bn=2aintegral0^aV0sin(x),sin!l(tfracnpi xar),dx
Fazendo Separação Vy(x,y) =sumn=1^infty Bn,sin!l(tfracnpi xar), sinh!l(tfracnpi yar)% sinh!l(tfracnpi bar)
com . As soluções são e
(normalizado para anular em ). Para igual a expandimos em série:
Então

Passo 5

Resolvendo partial^2Vzpartial y^2 + partial^2Vzpartial z^2 = 0, :
Aqui Vz(y,0)=0, Vz(y,c)=V0cos(y), Vz(0,z)=0, Vz(b,z)=0 independe de V0cos(y)=summ=0^inftyCmcos!l(tfracmpi ybr), Cm=2bintegral0^bV0cos(y), cos!l(tfracmpi ybr),dy , e a equação vira em Vz(y,z) =summ=0^infty Cm,cos!l(tfracmpi ybr), sinh!l(tfracmpi zbr)% sinh!l(tfracmpi cbr)
com
Mesma ideia: , dá modos
e
. Expandimos em cossenos:
Logo

Resposta

Juntando tudo, o potencial dentro da caixa é
boxed V(x,y,z) =underbraceV0a,xVx +underbracesumn=1^infty Bn,sin!l(tfracnpi xar), sinh!l(tfracnpi yar)% sinh!l(tfracnpi bar)Vy +underbracesumm=0^infty Cm,cos!l(tfracmpi ybr), sinh!l(tfracmpi zbr)% sinh!l(tfracmpi cbr)Vz
com os coeficientes
Bn=2aintegral0^aV0sin(x),sin!l(tfracnpi xar),dx, Cm=2bintegral0^bV0cos(y),cos!l(tfracmpi ybr),dy
Pronto! Esse é o resultado por superposição e séries de Fourier.

Exercícios relacionados