Equação Laplace em coordenadas esféricas
(Valor: 2,0 pt.) Encontre a solução da Equação de Laplace, no sistema de coordenadas esféricas,
, para os seguintes casos:
(Valor: 0,15 pt.) Simetria azimutal
.
Equação de Laplace:
(Valor: 2,0 pt.) Encontre a solução da Equação de Laplace, no sistema de coordenadas esféricas,
(Valor: 0,15 pt.) Simetria azimutal
Passo 1
Beleza, o problema é achar todas as soluções da equação de Laplace em coordenadas esféricas,
mas com simetria azimutal (ou seja, nada depende de
O que a gente vai usar aqui é o método de separação de variáveis e o rolê dos polinômios de Legendre, porque quando você separa em
Passo 2
Primeiro a gente supõe que a solução separa em
Aí coloca isso dentro da forma de Laplace que, no seu caso (sem dependência em
Como
só depende de
e
só de
, a gente divide tudo por
e multiplica por
pra isolar as variáveis:
Essa expressão é soma de algo só em
$$\begin{cases}
r^2R’’+2rR’ - l(l+1)R = 0, \
\displaystyle\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}!\bigl(\sin\theta,\Theta’\bigr)+l(l+1)\Theta=0,.
\displaystyle\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}!\bigl(\sin\theta,\Theta’\bigr)+l(l+1)\Theta=0,.
\end{cases}$$
Passo 3
– A equação em
é a equação de Legendre:
onde
– A equação radial é tipo Euler-Cauchy:
cuja solução geral é
com
Resposta
Juntando tudo, a solução geral com simetria azimutal é
onde
e
vêm das condições de contorno específicas do seu problema.