Equação Laplace em coordenadas esféricas
(Valor: 2,0 pt.) Encontre a solução da Equação de Laplace, no sistema de coordenadas esféricas, nabla^2 V(r ; theta ; varphi)=0, para os seguintes casos:
(Valor: 0,15 pt.) Simetria azimutal (V(r ; theta)).

Equação de Laplace:

(1r partial^2partial r^2(r V(r, theta, varphi))+1r^2 sin (theta) partialpartial theta(sin (theta) partialpartial theta V(r, theta, varphi))+1r^2 sin (theta)^2 partial^2partial varphi^2 V(r, theta, varphi))=0

Passo 1

Beleza, o problema é achar todas as soluções da equação de Laplace em coordenadas esféricas,
nabla^2 V(r,theta,varphi)=0,,
mas com simetria azimutal (ou seja, nada depende de varphi, só de r e theta).
O que a gente vai usar aqui é o método de separação de variáveis e o rolê dos polinômios de Legendre, porque quando você separa em theta aparece justamente a equação que define esses polinômios.

Passo 2

Primeiro a gente supõe que a solução separa em
V(r,theta)=R(r),Theta(theta),
Aí coloca isso dentro da forma de Laplace que, no seu caso (sem dependência em varphi), fica
1rd^2dr^2l(rR(r)Theta(theta)r)+1r^2sinthetaddthetal(sinthetaddtheta[R(r)Theta(theta)]r)=0,
Como R só depende de r e Theta só de theta, a gente divide tudo por R,Theta e multiplica por r^2 pra isolar as variáveis:
r,R'',r+2R'R+1Thetasinthetaddthetal(sintheta,Theta'r)=0,
Essa expressão é soma de algo só em r com algo só em theta. A única forma de somar duas funções independentes e sempre dar zero é cada uma ser constante, digamos l(l+1) de sinal trocado:
$$\begin{cases}
r^2R’’+2rR’ - l(l+1)R = 0, \
\displaystyle\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}!\bigl(\sin\theta,\Theta’\bigr)+l(l+1)\Theta=0,.
\end{cases}$$

Passo 3

– A equação em theta é a equação de Legendre:
ddthetal(sintheta,Theta'r)+l(l+1)sintheta,Theta=0Longrightarrow Theta(theta)=Pl(costheta),,
onde Pl é o polinômio de Legendre de ordem l.
– A equação radial é tipo Euler-Cauchy:
r^2R''+2rR' - l(l+1)R = 0,,
cuja solução geral é
R(r)=Al,r^l + Bl,r^-,l-1,,
com Al e Bl constantes a determinar pelas condições de contorno.

Resposta

Juntando tudo, a solução geral com simetria azimutal é
boxed V(r,theta)=suml=0^inftyl(Al,r^l + Bl,r^-,l-1r),Pl(costheta),,
onde Al e Bl vêm das condições de contorno específicas do seu problema.

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