Foi proposto a um aluno que determinasse a derivada da função diferenciável f dada por f(x, y)=x^2 e^y no ponto (1,0) na direção e sentido do vetor v=(4,3) obtendo a seguinte resposta: Se u=v|v|, temos:
partial fpartial u(1,0) & =lang<=nabla f(1,0), urang<= & =(85, 35)
(a) Em uma olhada rápida, como você sabe que a resposta dele está errada ?
(b) Qual é a resposta correta ?

Passo 1

O enunciado nos pede a derivada direcional de f(x,y)=x^2e^y no ponto (1,0) na direção do vetor vec v=(4,3). Para isso precisamos de (i) nabla f(1,0) e (ii) o vetor unitário vec u=vec v/|vec v|. Em seguida aplicamos
Dvec uf(1,0)=lang<=nabla f(1,0),vec urang<=

Passo 2

Em uma olhada rápida já vemos o erro do aluno: ele apresenta como resposta o vetor l(tfrac85,tfrac35r). Mas a derivada direcional é um \emph{escalar} (produto interno), não um vetor.

Passo 3

Calcular o gradiente de f:
nabla f(x,y) =l(partialpartial x(x^2e^y),;partialpartial y(x^2e^y)r) =(2x,e^y,;x^2e^y)
No ponto (1,0) isto dá
nabla f(1,0)=(2cdot1cdot e^0,;1^2cdot e^0)=(2,1)

Passo 4

Calcular o vetor unitário na direção de vec v=(4,3):
|vec v|=raiz4^2+3^2=5, vec u=vec v|vec v|=l(45,35r)

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional é
Dvec uf(1,0) =lang<=(2,1),;(tfrac45,tfrac35)rang<= =2cdot45+1cdot35 =8+35 =115

Resposta

(a) Porque a derivada direcional deve ser um escalar, e não o vetor l(tfrac85,tfrac35r) que o aluno apresentou.
(b) 115

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