Represente a função
por
(a) sua Série de Taylor em potências de
e dê a região de validade desta representação;
(b) sua Série de Laurent para o domínio
.
Resp.
;
(a) sua Série de Taylor em potências de
(b) sua Série de Laurent para o domínio
Passo 1
O enunciado pede para representar a função
em duas séries em torno de
: uma Série de Taylor em potências de
válida em
e uma Série de Laurent válida em
. Para isso, vamos fazer a mudança de variável
, de modo que
, e depois usar expansões conhecidas de séries geométricas e binomiais.
Passo 2
Para desenvolver a Série de Taylor (caso
), lembramos que a série geométrica é
válida para
. Derivando em relação a
obtemos
Multiplicando por
temos
Em seguida, como
, chegamos a
Passo 3
Para a Série de Laurent (caso
), reescrevemos
Aqui usamos o binomial generalizado para
:
com
. Assim
e então
Fazendo
, obtemos a Série de Laurent
válida em
.
Resposta
Para
:
Para
: