Represente a função
g(z)=z-1z^2
por
(a) sua Série de Taylor em potências de z-1 e dê a região de validade desta representação;
(b) sua Série de Laurent para o domínio |z-1|>1.
Resp. sumn=1^+infty(-1)^n+1 n(z-1)^n ;|z-1|<1 ; sumn=1^+infty(-1)^n+1 n /(z-1)^n ;|z-1|>1;

Passo 1

O enunciado pede para representar a função g(z)=z-1z^2 em duas séries em torno de z0=1: uma Série de Taylor em potências de z-1 válida em |z-1|<1 e uma Série de Laurent válida em |z-1|>1. Para isso, vamos fazer a mudança de variável w=z-1, de modo que g(z)=w(1+w)^2, e depois usar expansões conhecidas de séries geométricas e binomiais.

Passo 2

Para desenvolver a Série de Taylor (caso |w|<1), lembramos que a série geométrica é
11+w=sumn=0^ infty(-1)^n w^n,
válida para |w|<1. Derivando em relação a w obtemos
ddwl[(1+w)^-1r]=-(1+w)^-2=sumn=1^ infty(-1)^n n w^n-1
Multiplicando por -1) temos
(1+w)^-2=sumn=1^ infty(-1)^n+1n w^n-1
Em seguida, como g(z)=w(1+w)^-2, chegamos a
g(z)=sumn=1^infty(-1)^n+1n w^n \nque, em termos de z-1, é a Série de Taylor com região de validade |z-1|<1.

Passo 3

Para a Série de Laurent (caso |w|>1), reescrevemos
g(z)=w(1+w)^2=w^-1,(1+1/w)^-2
Aqui usamos o binomial generalizado para |1/w|<1:
(1+u)^-2=sumk=0^infty(-1)^k(k+1)u^k,
com u=1/w. Assim
(1+1/w)^-2=sumk=0^infty(-1)^k(k+1)w^-k
e então
g(z)=w^-1sumk=0^infty(-1)^k(k+1)w^-k =sumk=0^infty(-1)^k(k+1)w^-(k+1)
Fazendo n=k+1, obtemos a Série de Laurent
g(z)=sumn=1^infty(-1)^n+1nw^n
válida em |z-1|=|w|>1.

Resposta

Para |z-1|<1:
g(z)=sumn=1^infty(-1)^n+1n(z-1)^n
Para |z-1|>1:
g(z)=sumn=1^infty(-1)^n+1n(z-1)^n

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