A equação linear d^2 yd t^2+2 d yd t-8 y=0 possui solução geral do tipo
y=C1 e^r1 t+C2 e^r2 t
Dê a solução particular sabendo que y=0, d yd t=24 quando t=0.
3 pts.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo linear: d^2 yd t^2 + 2 d yd t - 8 y = 0. Nosso objetivo é encontrar uma solução específica para essa equação sabendo que, quando t = 0, y = 0 e a derivada de y em relação a t é 24. Vamos usar conhecimentos sobre equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a equação característica associada à nossa equação diferencial. Para uma equação da forma y'' + a y' + b y = 0, a equação característica é r^2 + a r + b = 0. No nosso caso, a = 2 e b = -8, então a equação característica fica:
r^2 + 2 r - 8 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r. Usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4 a c2 a
Aqui, a = 1, b = 2 e c = -8, então:
r = -2 pm raiz(2)^2 - 4 times 1 times (-8)2 times 1 = -2 pm raiz4 + 322 = -2 pm raiz362 = -2 pm 62
Isso nos dá duas raízes:
r1 = 42 = 2 e r2 = -82 = -4

Passo 4

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
y(t) = C1 e^2 t + C2 e^-4 t
Aqui, C1 e C2 são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais fornecidas.

Passo 5

Agora vamos aplicar as condições iniciais para encontrar C1 e C2.
Primeiro, sabemos que quando t = 0, y = 0:
0 = C1 e^0 + C2 e^0 Rightarrow 0 = C1 + C2
Isso nos dá a primeira equação:
C1 + C2 = 0 Rightarrow C2 = -C1
Segundo, precisamos da derivada de y(t):
dydt = 2 C1 e^2 t - 4 C2 e^-4 t
Quando t = 0, dydt = 24:
24 = 2 C1 e^0 - 4 C2 e^0 Rightarrow 24 = 2 C1 - 4 C2
Substituindo C2 = -C1:
24 = 2 C1 - 4 (-C1) = 2 C1 + 4 C1 = 6 C1 Rightarrow C1 = 4
Então, C2 = -4.

Passo 6

Finalmente, substituímos os valores de C1 e C2 na solução geral para obter a solução particular:
y(t) = 4 e^2 t - 4 e^-4 t

Resposta

A solução particular é $ y(t) = 4 e^{2 t} - 4 e^{-4 t} $.

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