A equação linear
possui solução geral do tipo
Dê a solução particular sabendo que
quando
.
3 pts.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo linear:
. Nosso objetivo é encontrar uma solução específica para essa equação sabendo que, quando
,
e a derivada de
em relação a
é 24. Vamos usar conhecimentos sobre equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a equação característica associada à nossa equação diferencial. Para uma equação da forma
, a equação característica é
. No nosso caso,
e
, então a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
, então:
Isso nos dá duas raízes:
Passo 4
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais fornecidas.
Passo 5
Agora vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, sabemos que quando
,
:
Isso nos dá a primeira equação:
Segundo, precisamos da derivada de
:
Quando
,
:
Substituindo
:
Então,
.
Passo 6
Finalmente, substituímos os valores de
e
na solução geral para obter a solução particular:
Resposta
A solução particular é $ y(t) = 4 e^{2 t} - 4 e^{-4 t} $.