Uma equação linear com duas incógnitas apresenta os pares ordenados
e
como algumas de suas soluções.
(b) Obtenha mais três soluções dessa equação.
(b) Obtenha mais três soluções dessa equação.
Passo 1
O enunciado diz que uma equação linear com duas incógnitas tem, entre suas soluções, os pares ordenados
e
. A pergunta (b) pede para obter mais três soluções dessa mesma equação.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Um ponto solução:
. - Outro ponto solução:
. - Queremos três outros pares
que também satisfaçam a mesma equação linear.
Passo 2
Ideia principal (explicada devagar): uma equação linear em duas incógnitas representa geometricamente uma reta no plano. Duas soluções distintas determinam uma única reta. Então, se acharmos a equação da reta que passa por
e
, qualquer ponto dessa reta é solução da equação — e daí podemos escolher quantos pontos quisermos. Agora vamos achar a reta explicitamente.
Passo 3
Calcular a inclinação (coeficiente angular) da reta que passa por
e
. A fórmula da inclinação entre dois pontos
e
é
Aplicando aos pontos dados:
Então a reta tem inclinação
.
Passo 4
Usar a forma reduzida da reta
. Já sabemos
, então
Para encontrar
(a ordenada na origem), substituímos um dos pontos; uso
:
Portanto a equação da reta é
Passo 5
É útil eliminar frações para ver a equação com coeficientes inteiros. Multiplicando ambos os lados por
:
Rearranjando:
Essa é a equação linear cuja reta contém todos os pontos solução.
Passo 6
Forma paramétrica e geração de soluções inteiras: da equação
vemos que, para
ser inteiro quando
for inteiro, precisamos que
seja múltiplo de
. Trabalhando módulo
:
pois
. Então queremos
, isto é,
. Uma parametrização simples para todos os inteiros
que satisfazem isso é
Substituindo em
:
Portanto todos os pontos da forma
são soluções. Observe que
dá
(um ponto já dado) e
dá
(o outro ponto dado).
Passo 7
Agora escolho três valores de
diferentes de
e
para obter três novas soluções (escolhi
,
e
) e calculo
e
passo a passo.
Para
:
Logo
é solução.
Para
:
Logo
é solução.
Para
:
Logo
é solução.
Passo 8
Verificação rápida (só para garantir): substituindo cada par em
deve dar
.
Para :
.
Para :
.
Para :
.
Tudo bate certinho — então são soluções válidas.
Para
Para
Para
Tudo bate certinho — então são soluções válidas.