Uma equação linear com duas incógnitas apresenta os pares ordenados (1,1) e (-2,-3) como algumas de suas soluções.
(b) Obtenha mais três soluções dessa equação.

Passo 1

O enunciado diz que uma equação linear com duas incógnitas tem, entre suas soluções, os pares ordenados (1,1) e (-2,-3). A pergunta (b) pede para obter mais três soluções dessa mesma equação.
Informações dadas:
  • Um ponto solução: (1,1).
  • Outro ponto solução: (-2,-3).
  • Queremos três outros pares (x,y) que também satisfaçam a mesma equação linear.

Passo 2

Ideia principal (explicada devagar): uma equação linear em duas incógnitas representa geometricamente uma reta no plano. Duas soluções distintas determinam uma única reta. Então, se acharmos a equação da reta que passa por (1,1) e (-2,-3), qualquer ponto dessa reta é solução da equação — e daí podemos escolher quantos pontos quisermos. Agora vamos achar a reta explicitamente.

Passo 3

Calcular a inclinação (coeficiente angular) da reta que passa por (1,1) e (-2,-3). A fórmula da inclinação entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Aplicando aos pontos dados:
m=\frac{-3-1}{-2-1}=\frac{-4}{-3}=\frac{4}{3}.
Então a reta tem inclinação \frac{4}{3}.

Passo 4

Usar a forma reduzida da reta y = mx + b. Já sabemos m=\frac{4}{3}, então
y=\frac{4}{3}x+b.
Para encontrar b (a ordenada na origem), substituímos um dos pontos; uso (1,1):
1=\frac{4}{3}\cdot 1 + b \quad\Rightarrow\quad b=1-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}.
Portanto a equação da reta é
y=\frac{4}{3}x-\frac{1}{3}.

Passo 5

É útil eliminar frações para ver a equação com coeficientes inteiros. Multiplicando ambos os lados por 3:
3y=4x-1.
Rearranjando:
4x-3y-1=0.
Essa é a equação linear cuja reta contém todos os pontos solução.

Passo 6

Forma paramétrica e geração de soluções inteiras: da equação y=\dfrac{4x-1}{3} vemos que, para y ser inteiro quando x for inteiro, precisamos que 4x-1 seja múltiplo de 3. Trabalhando módulo 3:
4x-1\equiv x-1\pmod{3},
pois 4\equiv1\pmod{3}. Então queremos x-1\equiv0\pmod{3}, isto é, x\equiv1\pmod{3}. Uma parametrização simples para todos os inteiros x que satisfazem isso é
x=1+3t,\quad t\in\mathbb{Z}.
Substituindo em y:
y=\frac{4(1+3t)-1}{3}=\frac{4+12t-1}{3}=\frac{3+12t}{3}=1+4t.
Portanto todos os pontos da forma
(x,y)=(1+3t,\;1+4t),\qquad t\in\mathbb{Z},
são soluções. Observe que t=0 (1,1) (um ponto já dado) e t=-1 (-2,-3) (o outro ponto dado).

Passo 7

Agora escolho três valores de t diferentes de 0 e -1 para obter três novas soluções (escolhi t=1, t=2 e t=-2) e calculo x e y passo a passo.
Para t=1:
x=1+3\cdot 1=4,\qquad y=1+4\cdot 1=5.
Logo (4,5) é solução.
Para t=2:
x=1+3\cdot 2=7,\qquad y=1+4\cdot 2=9.
Logo (7,9) é solução.
Para t=-2:
x=1+3\cdot(-2)=1-6=-5,\qquad y=1+4\cdot(-2)=1-8=-7.
Logo (-5,-7) é solução.

Passo 8

Verificação rápida (só para garantir): substituindo cada par em 4x-3y-1 deve dar 0.
Para (4,5): 4\cdot 4 - 3\cdot 5 -1 =16-15-1=0.
Para (7,9): 4\cdot7 -3\cdot9 -1 =28-27-1=0.
Para (-5,-7): 4\cdot(-5)-3\cdot(-7)-1 =-20+21-1=0.
Tudo bate certinho — então são soluções válidas.

Resposta

(4,5)
(7,9)
(-5,-7)

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