Uma equação linear da forma
, onde
e
são constantes reais, é chamada equação de Euler de segunda ordem. Mostre que a mudança de variável
se
( e
se
) transforma a equação de Euler em uma equação linear de coeficientes constantes. Aplique esta técnica para determinar a solução geral das equações:
Passo 1
O enunciado dá uma equação de Euler de segunda ordem da forma
onde
e
são constantes reais, e pede duas coisas:
- Mostrar que a mudança de variável
quando (e quando ) transforma essa equação numa equação linear de coeficientes constantes; - Aplicar essa técnica para resolver a equação concreta
Informações relevantes fornecidas:
- A equação geral tem coeficientes
e constantes. - A transformação proposta é
(para ) — também é indicada a versão para . - Na equação concreta temos
e .
Passo 2
Vamos fazer a mudança de variável de forma explícita e cuidar bem das derivadas. Defina a nova função
Aqui
é a mesma função
vista como função de
(ou seja
). Quero expressar
e
(derivadas em relação a
) em termos de derivadas de
em relação a
.
Pela regra da cadeia, primeiro note que
Usando a regra da cadeia para
via
, temos
onde
. Aqui expliquei cada símbolo:
é a derivada de
em relação a
;
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Agora calculamos a segunda derivada
. Começamos da expressão obtida:
Diferenciando em relação a
, aplicamos a regra do produto (ou do quociente) e a cadeia onde necessário:
Agora
. E
. Portanto
Resumo das fórmulas úteis obtidas:
Passo 4
Substituímos essas expressões na equação de Euler geral
Calculando termo a termo:
Somando tudo:
Agrupando os termos em
obtemos
Esta é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes (pois
e
são constantes). Portanto provamos que a mudança
transforma a equação de Euler numa equação de coeficientes constantes em
. (Para
usa-se
; o mesmo cálculo, trocando
por
, leva à mesma forma em termos de
.)
Passo 5
Agora aplicamos isso ao caso concreto
. Aqui
e
. Pela transformação já obtida, a equação em
fica
isto é
Passo 6
Resolvemos a equação de coeficientes constantes usando o método padrão: procurar soluções da forma
. Isso leva à equação característica
Resolvendo a quadrática:
Logo as raízes são
e
(duas raízes reais distintas). Para raízes reais distintas a solução geral é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 7
Voltando à variável
: para
temos
, então
Portanto a solução geral em função de
é
Observação sobre
: se
usar
e
. Como os expoentes são inteiros, a forma final
também é válida para
(cada termo é bem definido para
). Em resumo, a solução válida em cada intervalo onde
mantém sinal é a mesma forma algébrica acima.