Uma equação linear da forma x^{2} y^{\prime \prime}+\alpha x y^{\prime}+\beta y=0, onde a e \beta são constantes reais, é chamada equação de Euler de segunda ordem. Mostre que a mudança de variável x=e^{z} se x>0 ( e x=-e^{z} se x<0 ) transforma a equação de Euler em uma equação linear de coeficientes constantes. Aplique esta técnica para determinar a solução geral das equações:
x^{2} y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}-12 y=0

Passo 1

O enunciado dá uma equação de Euler de segunda ordem da forma
x^{2}y''+\alpha x y'+\beta y=0,
onde \alpha e \beta são constantes reais, e pede duas coisas:
  • Mostrar que a mudança de variável x=e^{z} quando x>0 (e x=-e^{z} quando x<0) transforma essa equação numa equação linear de coeficientes constantes;
  • Aplicar essa técnica para resolver a equação concreta
x^{2}y''+2x y'-12y=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação geral tem coeficientes \alpha e \beta constantes.
  • A transformação proposta é x=e^{z} (para x>0) — também é indicada a versão x=-e^{z} para x<0.
  • Na equação concreta temos \alpha=2 e \beta=-12.

Passo 2

Vamos fazer a mudança de variável de forma explícita e cuidar bem das derivadas. Defina a nova função
Y(z)=y(x)\quad\text{com}\quad x=e^{z}.
Aqui Y é a mesma função y vista como função de z (ou seja Y(z)=y(e^{z})). Quero expressar y' e y'' (derivadas em relação a x) em termos de derivadas de Y em relação a z.
Pela regra da cadeia, primeiro note que
\frac{dx}{dz}=e^{z}=x.
Usando a regra da cadeia para \dfrac{dy}{dx} via z, temos
y'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{dY/dz}{dx/dz}=\frac{Y'(z)}{x}=\frac{1}{x}Y'(z),
onde Y'(z)=\dfrac{dY}{dz}. Aqui expliquei cada símbolo: y'(x) é a derivada de y em relação a x; Y'(z) é a derivada de Y em relação a z.

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada y''(x)=\dfrac{d}{dx}\big(y'(x)\big). Começamos da expressão obtida:
y'(x)=\frac{1}{x}Y'(z).
Diferenciando em relação a x, aplicamos a regra do produto (ou do quociente) e a cadeia onde necessário:
y''(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{x}Y'(z)\right) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)\!Y'(z) + \frac{1}{x}\frac{d}{dx}\big(Y'(z)\big).
Agora \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{1}{x}\right)=-\dfrac{1}{x^{2}}. E \dfrac{d}{dx}\big(Y'(z)\big)=\dfrac{dY'}{dz}\cdot\dfrac{dz}{dx}=\dfrac{Y''(z)}{dx/dz}=\dfrac{Y''(z)}{x}. Portanto
y''(x) = -\frac{1}{x^{2}}Y'(z) + \frac{1}{x}\cdot\frac{Y''(z)}{x} = \frac{1}{x^{2}}\big(Y''(z)-Y'(z)\big).
Resumo das fórmulas úteis obtidas:
y'(x)=\frac{1}{x}Y'(z),\qquad y''(x)=\frac{1}{x^{2}}\big(Y''(z)-Y'(z)\big).

Passo 4

Substituímos essas expressões na equação de Euler geral
x^{2}y''+\alpha x y'+\beta y=0.
Calculando termo a termo:
x^{2}y''=x^{2}\cdot\frac{1}{x^{2}}\big(Y''-Y'\big)=Y''-Y',
\alpha x y'=\alpha x\cdot\frac{1}{x}Y'=\alpha Y',
\beta y=\beta Y.
Somando tudo:
\big(Y''-Y'\big)+\alpha Y'+\beta Y=0.
Agrupando os termos em Y obtemos
Y''+(\alpha-1)Y'+\beta Y=0.
Esta é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes (pois \alpha e \beta são constantes). Portanto provamos que a mudança x=e^{z} transforma a equação de Euler numa equação de coeficientes constantes em z. (Para x<0 usa-se x=-e^{z}; o mesmo cálculo, trocando e^{z} por -e^{z}, leva à mesma forma em termos de Y(z)=y(-e^{z}).)

Passo 5

Agora aplicamos isso ao caso concreto \;x^{2}y''+2x y'-12y=0. Aqui \alpha=2 e \beta=-12. Pela transformação já obtida, a equação em z fica
Y''+(\alpha-1)Y'+\beta Y=0 \quad\Rightarrow\quad Y''+(2-1)Y'-12Y=0,
isto é
Y''+Y'-12Y=0.

Passo 6

Resolvemos a equação de coeficientes constantes usando o método padrão: procurar soluções da forma Y(z)=e^{rz}. Isso leva à equação característica
r^{2}+r-12=0.
Resolvendo a quadrática:
r=\frac{-1\pm\sqrt{1+48}}{2}=\frac{-1\pm7}{2}.
Logo as raízes são r_{1}=3 e r_{2}=-4 (duas raízes reais distintas). Para raízes reais distintas a solução geral é
Y(z)=C_{1}e^{3z}+C_{2}e^{-4z},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 7

Voltando à variável x: para x>0 temos z=\ln x, então
e^{3z}=e^{3\ln x}=x^{3},\qquad e^{-4z}=e^{-4\ln x}=x^{-4}.
Portanto a solução geral em função de x é
y(x)=C_{1}x^{3}+C_{2}x^{-4},\qquad x\neq0.
Observação sobre x<0: se x<0 usar x=-e^{z} e z=\ln(-x). Como os expoentes são inteiros, a forma final y(x)=C_{1}x^{3}+C_{2}x^{-4} também é válida para x<0 (cada termo é bem definido para x\neq0). Em resumo, a solução válida em cada intervalo onde x mantém sinal é a mesma forma algébrica acima.

Resposta

y(x)=C_{1}x^{3}+C_{2}x^{-4}

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