Determine k sabendo que
é fator integrante da equação:
e, em seguida, resolva a equação para
.
Ache um fator integrante da forma
para a equação
Ache um fator integrante da forma
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Primeiro problema (dados do enunciado):
- A equação diferencial é
. - É pedido: (a) determinar
sabendo que é fator integrante; (b) resolver a equação usando a condição inicial .
- A equação diferencial é
-
Segundo problema (dados do enunciado):
- A equação fornecida aparece como
. - É pedido: achar um fator integrante da forma
.
- A equação fornecida aparece como
Observação importante sobre o segundo problema: na expressão
falta um termo após o sinal
. Como esse termo é parte do coeficiente de
, essa informação é necessária para determinar
e
. Portanto, sem esse pedaço do enunciado não é possível completar a resolução do segundo problema.
Passo 2
Entender o que é preciso fazer no primeiro problema (teoria mínima e fórmula que vou usar).
- Para uma equação na forma
, um fator integrante torna a equação exata quando a função multiplicada satisfaz Aqui a equação dada tem e . - A estratégia: substituir
, calcular e , igualar e resolver para . Isso dá que torna a equação exata.
Observação de domínio: ao manipular
vamos dividir por
e por potências de
, então assumimos
e
(isso é natural também para
exigir
); depois podemos indicar o domínio da solução.
Passo 3
Calcular
e
em termos de
.
- Primeiro escrevo
e : - Calculo
: Diferenciando em relação a : (Aqui usei a regra de potência: , e é constante em .) - Calculo
: Diferenciando em relação a : (Aqui é tratado como constante ao derivar em .)
Passo 4
Imponho a condição de exatidão e resolvo para
.
- Igualando as parciais:
- Multiplico ambos os lados por
(válido para e ): - Portanto
Passo 5
Com
obtenho o fator integrante e escrevo a equação multiplicada.
- O fator integrante é
- Multiplicando a equação original por
: Simplificando termo a termo: Ou seja, a nova e (já multiplicadas) são
Passo 6
Verifico brevemente a exatidão e encontro a função potencial
.
- Verificação rápida das parciais:
As duas parciais coincidem, confirmando que a equação é exata para
.
-
Agora procuro
tal que e .
Integroem relação a : ondeé função a determinar. -
Diferencio essa
em relação a : Igualando a: Cancelando os termosdos dois lados, obtemos , logo . Podemos absorver na constante final. -
Assim a função potencial é
Passo 7
Escrevo a solução implícita e aplico a condição inicial.
- A solução geral implícita é
para alguma constante . - Aplicando a condição inicial
: como , - Portanto a solução com a condição inicial é
Passo 8
Se quiser, isolo
explicitamente (e escolho o ramo que satisfaz a condição inicial).
- Multiplico por
para obter um quadrático em : - Resolvo a equação quadrática em
: - Usando
(aqui ), obtemos , então o ramo escolhido é o sinal . Logo a solução explícita é - Observação de domínio: é necessário
, isto é , o que equivale a . Também pedimos por causa de .
Passo 9
Comentário e conclusão sobre o segundo problema (por que não é possível completá-lo).
- O objetivo pedido era encontrar um fator integrante do tipo
para a equação - Para achar
e normalmente procede-se assim: escrever e , multiplicar por e impor o que leva a uma equação algébrica para e . - Contudo aqui o coeficiente de
está incompleto: tem um termo desconhecido onde coloquei . Sem essa expressão explícita não dá para formar a igualdade entre parciais e, portanto, não dá para determinar e . - Conclusão: é preciso que o enunciado informe qual é o termo que falta dentro de
. Sem isso, não é possível completar o cálculo.
Resposta
Não é possível determinar