Determine k sabendo que μ(x, y)=\frac{y^{k}}{x} é fator integrante da equação: y d x+\left(x y^{2}-x \ln (x)\right) d y=0 e, em seguida, resolva a equação para y(1)=2.
Ache um fator integrante da forma h(x, y)=x^{n} y^{m} para a equação y\left(y^{2}+\right) d x+x\left(y^{2}-1\right) \ln (x) d y=0

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Primeiro problema (dados do enunciado):
    • A equação diferencial é y\,dx+\bigl(x y^{2}-x\ln(x)\bigr)\,dy=0.
    • É pedido: (a) determinar k sabendo que \mu(x,y)=\dfrac{y^{k}}{x} é fator integrante; (b) resolver a equação usando a condição inicial y(1)=2.
  • Segundo problema (dados do enunciado):
    • A equação fornecida aparece como y\bigl(y^{2}+\bigr)\,dx + x\bigl(y^{2}-1\bigr)\ln(x)\,dy=0.
    • É pedido: achar um fator integrante da forma h(x,y)=x^{n}y^{m}.
Observação importante sobre o segundo problema: na expressão y\bigl(y^{2}+\bigr) falta um termo após o sinal +. Como esse termo é parte do coeficiente de dx, essa informação é necessária para determinar n e m. Portanto, sem esse pedaço do enunciado não é possível completar a resolução do segundo problema.

Passo 2

Entender o que é preciso fazer no primeiro problema (teoria mínima e fórmula que vou usar).
  • Para uma equação na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0, um fator integrante \mu(x,y) torna a equação exata quando a função multiplicada satisfaz \frac{\partial}{\partial y}\bigl(\mu M\bigr)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\mu N\bigr).Aqui a equação dada tem M(x,y)=y e N(x,y)=x y^{2}-x\ln(x).
  • A estratégia: substituir \mu(x,y)=\dfrac{y^{k}}{x}, calcular \partial_y(\mu M) e \partial_x(\mu N), igualar e resolver para k. Isso dá k que torna a equação exata.
Observação de domínio: ao manipular \mu vamos dividir por x e por potências de y, então assumimos x\neq0 e y\neq0 (isso é natural também para \ln(x) exigir x>0); depois podemos indicar o domínio da solução.

Passo 3

Calcular \partial_y(\mu M) e \partial_x(\mu N) em termos de k.
  • Primeiro escrevo M e N: M(x,y)=y,\qquad N(x,y)=x y^{2}-x\ln(x).
  • Calculo \mu M: \mu M=\frac{y^{k}}{x}\cdot y=\frac{y^{k+1}}{x}.Diferenciando em relação a y: \frac{\partial}{\partial y}\bigl(\mu M\bigr)=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{y^{k+1}}{x}\right)=\frac{k+1}{x}\,y^{k}.(Aqui usei a regra de potência: \dfrac{d}{dy}y^{k+1}=(k+1)y^{k}, e 1/x é constante em y.)
  • Calculo \mu N: \mu N=\frac{y^{k}}{x}\bigl(x y^{2}-x\ln(x)\bigr)=y^{k}\bigl(y^{2}-\ln(x)\bigr)=y^{k+2}-y^{k}\ln(x).Diferenciando em relação a x: \frac{\partial}{\partial x}\bigl(\mu N\bigr)=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(y^{k+2}-y^{k}\ln(x)\right)=0 - y^{k}\cdot\frac{1}{x}=-\frac{y^{k}}{x}.(Aqui y é tratado como constante ao derivar em x.)

Passo 4

Imponho a condição de exatidão e resolvo para k.
  • Igualando as parciais: \frac{k+1}{x}\,y^{k} = -\frac{y^{k}}{x}.
  • Multiplico ambos os lados por \dfrac{x}{y^{k}} (válido para x\neq0 e y\neq0): k+1=-1.
  • Portanto k=-2.

Passo 5

Com k=-2 obtenho o fator integrante e escrevo a equação multiplicada.
  • O fator integrante é \mu(x,y)=\frac{y^{-2}}{x}=\frac{1}{x y^{2}}.
  • Multiplicando a equação original por \mu: \frac{1}{x y^{2}}\bigl(y\,dx + (x y^{2}-x\ln x)\,dy\bigr)=0.Simplificando termo a termo: \frac{1}{x y}\,dx + \Bigl(1-\frac{\ln x}{y^{2}}\Bigr)\,dy = 0.Ou seja, a nova M e N (já multiplicadas) são \tilde M(x,y)=\frac{1}{x y},\qquad \tilde N(x,y)=1-\frac{\ln x}{y^{2}}.

Passo 6

Verifico brevemente a exatidão e encontro a função potencial \Phi(x,y).
  • Verificação rápida das parciais: \frac{\partial}{\partial y}\tilde M=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{1}{x y}\right)=-\frac{1}{x}\frac{1}{y^{2}}=-\frac{1}{x y^{2}},
\frac{\partial}{\partial x}\tilde N=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(1-\frac{\ln x}{y^{2}}\right)=-\frac{1}{y^{2}}\cdot\frac{1}{x}=-\frac{1}{x y^{2}}.
As duas parciais coincidem, confirmando que a equação é exata para k=-2.
  • Agora procuro \Phi(x,y) tal que \Phi_x=\tilde M=\dfrac{1}{x y} e \Phi_y=\tilde N=1-\dfrac{\ln x}{y^{2}}.
    Integro \Phi_x em relação a x:
    \Phi(x,y)=\int \frac{1}{x y}\,dx = \frac{1}{y}\int\frac{1}{x}\,dx = \frac{\ln x}{y} + g(y),
    onde g(y) é função a determinar.
  • Diferencio essa \Phi em relação a y:
    \Phi_y = -\frac{\ln x}{y^{2}} + g'(y).
    Igualando a \tilde N:
    -\frac{\ln x}{y^{2}} + g'(y) = 1 - \frac{\ln x}{y^{2}}.
    Cancelando os termos -\dfrac{\ln x}{y^{2}} dos dois lados, obtemos g'(y)=1, logo g(y)=y + C_0. Podemos absorver C_0 na constante final.
  • Assim a função potencial é
    \Phi(x,y)=\frac{\ln x}{y} + y.

Passo 7

Escrevo a solução implícita e aplico a condição inicial.
  • A solução geral implícita é \Phi(x,y)=\frac{\ln x}{y}+y = C,para alguma constante C.
  • Aplicando a condição inicial y(1)=2: como \ln 1=0, \frac{0}{2}+2 = C \quad\Rightarrow\quad C=2.
  • Portanto a solução com a condição inicial é \frac{\ln x}{y}+y=2.

Passo 8

Se quiser, isolo y explicitamente (e escolho o ramo que satisfaz a condição inicial).
  • Multiplico por y para obter um quadrático em y: \ln x + y^{2} = 2y \quad\Rightarrow\quad y^{2}-2y+\ln x=0.
  • Resolvo a equação quadrática em y: y = \frac{2\pm\sqrt{4-4\ln x}}{2} = 1\pm\sqrt{1-\ln x}.
  • Usando y(1)=2 (aqui \ln1=0), obtemos y(1)=1\pm1, então o ramo escolhido é o sinal +. Logo a solução explícita é y(x)=1+\sqrt{1-\ln x}.
  • Observação de domínio: é necessário 1-\ln x\ge 0, isto é \ln x\le1, o que equivale a 0<x\le e. Também pedimos x>0 por causa de \ln x.

Passo 9

Comentário e conclusão sobre o segundo problema (por que não é possível completá-lo).
  • O objetivo pedido era encontrar um fator integrante do tipo h(x,y)=x^{n}y^{m} para a equação y\bigl(y^{2}+\;\bigr)\,dx + x\bigl(y^{2}-1\bigr)\ln(x)\,dy=0.
  • Para achar n e m normalmente procede-se assim: escrever M(x,y) e N(x,y), multiplicar por h(x,y)=x^{n}y^{m} e impor \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{n}y^{m}M\bigr)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{n}y^{m}N\bigr),o que leva a uma equação algébrica para n e m.
  • Contudo aqui o coeficiente de dx está incompleto: M(x,y)=y\bigl(y^{2}+?\bigr) tem um termo desconhecido onde coloquei ?. Sem essa expressão explícita não dá para formar a igualdade entre parciais e, portanto, não dá para determinar n e m.
  • Conclusão: é preciso que o enunciado informe qual é o termo que falta dentro de y\bigl(y^{2}+\;\bigr). Sem isso, não é possível completar o cálculo.

Resposta

k=-2;\quad y(x)=1+\sqrt{1-\ln x} (solução com y(1)=2, para 0<x\le e).
Não é possível determinar n e m: enunciado do segundo problema incompleto (falta o termo em y(y^{2}+\;)).

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