A equação log 3 x=1+12 log x^2 3 tem duas raízes reais. O produto dessas raízes é
a) 0
b) 13
c) 32
d) 3
e) 9

Passo 1

Nesse exercício a gente tem a equação log3x = 1 + 12logx^23. O conteúdo é equações logarítmicas e vamos usar a propriedade de mudança de base para reescrever logx^23.

Passo 2

Aplicando a mudança de base, lembramos que logab = 1/logba. Então
logx^23 = 1log3(x^2) = 12,log3x

Passo 3

Substituindo na equação original dá
log3x = 1 + 12cdot12,log3x = 1 + 6log3x

Passo 4

Para simplificar, defina t = log3x. Ficamos com
t = 1 + 6tLongrightarrow t^2 = t + 6Longrightarrow t^2 - t - 6 = 0

Passo 5

Resolva a quadrática: as raízes são
t = 1pmraiz1+242 = 1pm52,isto é, t = 3 ou t = -2.

Passo 6

Voltando para x, se log3x = 3 então x = 3^3 = 27, e se log3x = -2 então x = 3^-2 = tfrac19.
As duas raízes reais são 27 e tfrac19.

Passo 7

O produto das raízes vale 27timestfrac19 = 3.

Resposta

3

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