Resolvendo a equação log 3(x^2-2 x-3)+ log 12(x-1)=log 3(x+1), obtém-se
a) stackrel3SS^==-1
b) S=4,5
c) S=6
d) S=
e) S=4

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a equação de logaritmos log3(x^2-2x-3)+log1/2(x-1)=log3(x+1). Vamos usar conteúdos de logaritmo: domínio, propriedades de soma de logaritmos e mudança de base.

Passo 2

Primeiro encontramos o domínio das três expressões logarítmicas. Precisamos de
x^2-2x-3>0,
x-1>0
e
x+1>0.
Resolvendo x^2-2x-3>0 obtemos raízes em x=-1 e x=3, e portanto é positivo para x<-1 ou x>3. Combinando com x-1>0 e x+1>0 (que dão x>1 e x>-1), ficamos com x>3.

Passo 3

Usamos agora a propriedade de soma de logaritmos e fatoramos x^2-2x-3=(x-3)(x+1). Então
log3(x^2-2x-3)=log3(x-3)+log3(x+1)

Passo 4

Substituindo na equação e cancelando log3(x+1) de ambos os lados, fica
log3(x-3)+log1/2(x-1)=0

Passo 5

Convertendo log1/2(x-1) usando mudança de base:
log1/2(x-1)=ln(x-1)ln(1/2)=-ln(x-1)ln2=-log2(x-1)

Passo 6

A equação vira
log3(x-3)-log2(x-1)=0Longrightarrowlog3(x-3)=log2(x-1)

Passo 7

Definindo t=log3(x-3)=log2(x-1), temos
x-3=3^t, x-1=2^t

Passo 8

Subtraindo essas duas igualdades vem
2^t-3^t=(x-1)-(x-3)=2

Passo 9

A função g(t)=2^t-3^t-2 é sempre negativa para todo tinR, logo não há solução real em t e, portanto, nenhuma solução em x no domínio.
Concluímos que o conjunto solução é vazio.

Resposta

S = {}

Exercícios relacionados