Se a equação
$
\left.\mathscr{F}=\alpha \cdot \underline{k}^{cx}+\beta \cdot \sin \left(x^{2}\right) \cdot d+\pi\right)
$
é dimensionalmente correta, com
e
possuindo dimensões de força e comprimento e
sendo uma constante adimensional, determine a dimensão da grandeza
, tal que
.
$
\left.\mathscr{F}=\alpha \cdot \underline{k}^{cx}+\beta \cdot \sin \left(x^{2}\right) \cdot d+\pi\right)
$
é dimensionalmente correta, com
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação e pede para determinar a dimensão da grandeza $ S = \frac{\alpha \cdot c}{d} $. A matéria envolvida aqui é Análise Dimensional, que nos ajuda a verificar se as equações fazem sentido em termos de unidades. Precisamos usar as informações dadas sobre as dimensões de $ \mathscr{F} $, $ x $, e $ k $, além de saber que a equação é dimensionalmente correta.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação fornecida:
Sabemos que:
- $ \mathscr{F} $ tem dimensão de Força
. - $ x $ tem dimensão de Comprimento
. - $ k $ é adimensional, ou seja, não tem dimensão.
Vamos agora analisar cada termo da equação para garantir que todos tenham a mesma dimensão de força.
Passo 3
Começando com o primeiro termo: $ \alpha \cdot k^{c x} $
Como $ k $ é adimensional, $ k^{c x} $ também é adimensional, já que elevar um número adimensional a qualquer potência continua sendo adimensional. Portanto, a dimensão de $ \alpha $ deve ser a mesma de $ \mathscr{F} $, ou seja,
.
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos para o segundo termo: $ \beta \cdot \sin(x^{2}) \cdot d $
A função seno (
) exige que seu argumento seja adimensional. Portanto, $ x^{2} $ deve ser adimensional. Isso implica que $ x $ deve ter dimensão de:
O que está de acordo com o que foi dado.
Agora, como $ \sin(x^{2}) $ é adimensional, a dimensão de $ \beta \cdot d $ deve ser igual a
. Assim:
Passo 5
Finalmente, o termo constante $ \pi $ também deve ter dimensão de força para que a equação seja consistente:
Apesar de $ \pi $ ser adimensional, aqui ele está sendo tratado como uma quantidade com dimensão de força para manter a consistência da equação.
Passo 6
Agora, queremos determinar a dimensão de $ S = \frac{\alpha \cdot c}{d} $.
Sabemos que:
Relembrando do segundo passo, vimos que:
Mas ainda não sabemos a dimensão de $ \beta $, então precisamos encontrar uma relação adicional.
Passo 7
Como todos os termos da equação original devem ter a mesma dimensão
, podemos concluir que $ \beta $ também deve ter dimensão adequada para que $ \beta \cdot d $ resulte em
. Se assumirmos que $ \beta $ é adimensional, então:
Portanto, a dimensão de $ d $ é a mesma que a de força
.
Passo 8
Agora, voltando a $ S = \frac{\alpha \cdot c}{d} $:
Isso simplifica para:
Resposta
A dimensão da grandeza $ S $ é a mesma de $ c $. Portanto,