Se a equação
$
\left.\mathscr{F}=\alpha \cdot \underline{k}^{cx}+\beta \cdot \sin \left(x^{2}\right) \cdot d+\pi\right)
$
é dimensionalmente correta, com mathscrF=alpha cdot k^cx+beta cdot sin (x^2) cdot d+pi) e F possuindo dimensões de força e comprimento e x sendo uma constante adimensional, determine a dimensão da grandeza k, tal que S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação e pede para determinar a dimensão da grandeza $ S = \frac{\alpha \cdot c}{d} $. A matéria envolvida aqui é Análise Dimensional, que nos ajuda a verificar se as equações fazem sentido em termos de unidades. Precisamos usar as informações dadas sobre as dimensões de $ \mathscr{F} $, $ x $, e $ k $, além de saber que a equação é dimensionalmente correta.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação fornecida:
mathscrF = alpha cdot k^cx + beta cdot sin(x^2) cdot d + pi
Sabemos que:
  • $ \mathscr{F} $ tem dimensão de Força mathscrF .
  • $ x $ tem dimensão de Comprimento [F].
  • $ k $ é adimensional, ou seja, não tem dimensão.
Vamos agora analisar cada termo da equação para garantir que todos tenham a mesma dimensão de força.

Passo 3

Começando com o primeiro termo: $ \alpha \cdot k^{c x} $
Como $ k $ é adimensional, $ k^{c x} $ também é adimensional, já que elevar um número adimensional a qualquer potência continua sendo adimensional. Portanto, a dimensão de $ \alpha $ deve ser a mesma de $ \mathscr{F} $, ou seja, alpha cdot k^c x .
Então, temos:
k

Passo 4

Agora, vamos para o segundo termo: $ \beta \cdot \sin(x^{2}) \cdot d $
A função seno ( beta cdot sin(x^2) cdot d ) exige que seu argumento seja adimensional. Portanto, $ x^{2} $ deve ser adimensional. Isso implica que $ x $ deve ter dimensão de:
sin
O que está de acordo com o que foi dado.
Agora, como $ \sin(x^{2}) $ é adimensional, a dimensão de $ \beta \cdot d $ deve ser igual a x^2 . Assim:
x

Passo 5

Finalmente, o termo constante $ \pi $ também deve ter dimensão de força para que a equação seja consistente:
pi
Apesar de $ \pi $ ser adimensional, aqui ele está sendo tratado como uma quantidade com dimensão de força para manter a consistência da equação.

Passo 6

Agora, queremos determinar a dimensão de $ S = \frac{\alpha \cdot c}{d} $.
Sabemos que:
S = alpha cdot cd éã
Relembrando do segundo passo, vimos que:
[alpha] = [F] [d] é uma dimensão que precisamos descobrir
Mas ainda não sabemos a dimensão de $ \beta $, então precisamos encontrar uma relação adicional.

Passo 7

Como todos os termos da equação original devem ter a mesma dimensão [F], podemos concluir que $ \beta $ também deve ter dimensão adequada para que $ \beta \cdot d $ resulte em beta . Se assumirmos que $ \beta $ é adimensional, então:
beta cdot d
Portanto, a dimensão de $ d $ é a mesma que a de força [F].

Passo 8

Agora, voltando a $ S = \frac{\alpha \cdot c}{d} $:
S = alpha cdot cd
Isso simplifica para:
[S] = [alpha] cdot [c][d] = [F] cdot [c][F] = [c]

Resposta

A dimensão da grandeza $ S $ é a mesma de $ c $. Portanto,
S

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