Uma pequena bola carregada está suspensa no centro de um balão esférico que está aninhado confortavelmente dentro de uma caixa de papelão cúbica. De um lado, o balão toca a parede da caixa. Neste ponto de contato, o número de linhas de campo por unidade de área de superfície do balão é igual ao número de linhas de campo por unidade de área de superfície da caixa?
Passo 1
Beleza, aqui vai um resumão do que o enunciado pede e o que a gente vai usar.
Enunciado: uma bolinha carregada está no centro de um balão esférico, que por sua vez fica dentro de uma caixa cúbica. O balão encosta numa face da caixa num único ponto. A dúvida é: nesse ponto de contato, a “quantidade de linhas de campo por área” no balão é igual à da caixa?
Conteúdo da matéria: eletrostática de cargas pontuais, campo elétrico, linhas de campo e densidade de linhas (fluxo por área).
O que vamos precisar:
Enunciado: uma bolinha carregada está no centro de um balão esférico, que por sua vez fica dentro de uma caixa cúbica. O balão encosta numa face da caixa num único ponto. A dúvida é: nesse ponto de contato, a “quantidade de linhas de campo por área” no balão é igual à da caixa?
Conteúdo da matéria: eletrostática de cargas pontuais, campo elétrico, linhas de campo e densidade de linhas (fluxo por área).
O que vamos precisar:
- Lei de Coulomb para o campo de uma carga pontual.
- Relação entre campo elétrico e densidade de linhas de campo sobre uma superfície.
Passo 2
Primeiro, lembra do campo elétrico de uma carga pontual Q a uma distância r:
onde
é a constante eletrostática. Esse campo é radial (aponta para fora ou para dentro, dependendo do sinal da carga).
Passo 3
Agora, o que é “densidade de linhas de campo por unidade de área”?
Imagine que a gente desenha N linhas de campo saindo da carga. Quanto mais forte o campo num ponto, mais linhas por centímetro quadrado passam ali. Matematicamente, a densidade de linhas é proporcional ao fluxo por área:
Imagine que a gente desenha N linhas de campo saindo da carga. Quanto mais forte o campo num ponto, mais linhas por centímetro quadrado passam ali. Matematicamente, a densidade de linhas é proporcional ao fluxo por área:
desde que a área seja pequena e ortogonal ao campo.
Passo 4
No nosso caso, o ponto de contato entre balão e caixa está a uma mesma distância
(o raio do balão) da carga, tanto para a superfície esférica quanto para a face da caixa (que é tangente à esfera).
- Campo no balão, nesse ponto:
- Como a face da caixa é tangente à esfera, a normal à face coincide com a direção radial do campo. Logo, na caixa, no mesmo ponto:
- A densidade de linhas em cada superfície é igual ao valor de
(porque densidade = fluxo/área = quando o campo é perpendicular).
Resposta
Sim! A densidade de linhas de campo (linhas por área) no balão é exatamente igual à densidade de linhas de campo na caixa, pois nos dois casos o módulo do campo elétrico vale
e ambas as superfícies são perpendiculares à direção do campo nesse ponto.