Hipótese para vtheta : Admita que a velocidade na direção theta tenha a forma vtheta=r omega f(z), onde f(z) é uma função a ser determinada. Justifique fisicamente essa suposição.

Passo 1

O enunciado pede que a componente tangencial da velocidade num escoamento axisimétrico e estacionário seja escrita na forma
vtheta(r,z)=r,omega,f(z),
onde omega é uma constante (velocidade angular de contorno) e f(z) é uma função adimensional de z que ainda vamos determinar. O conteúdo é mecânica dos fluidos em coordenadas cilíndricas e vamos usar argumentos de simetria, análise dimensional e condições de contorno para justificar por que se pode fatorar r e omega.

Passo 2

Simetria cilíndrica e rotação rígida local: num escoamento puramente azimutal e axisimétrico, em cada plano z=const o fluido gira “como um corpo rígido” localmente, ou seja,
vthetapropto r,,
pois em rotação rígida a velocidade tangencial cresce linearmente com o raio.

Passo 3

Dependência em z via difusão viscosa: como há atrito entre camadas de fluido em diferentes alturas z, a taxa de rotação local Omega(z)=vtheta(r,z)/r pode variar com z. Logo é natural escrever
Omega(z)=omega,f(z),,
onde omega é a rotação imposta pela parede giratória e f(z) captura o perfil de desaceleração ou aceleração pelo atrito.

Passo 4

Análise dimensional: à esquerda vtheta tem dimensão de velocidade [L/T]. À direita r tem dimensão [L], omega tem dimensão [1/T] e f(z) é adimensional. Assim
[L/T]=[L]times[1/T]times(adimensional),
confirmando a consistência.

Passo 5

Condições de contorno determinam f(z): no disco estacionário (por exemplo z=0) vale a condição de não deslizamento
vtheta(r,0)=0;Longrightarrow;f(0)=0,
e sobre o disco giratório (por exemplo z=H)
vtheta(r,H)=r,omega;Longrightarrow;f(H)=1
Portanto toda a variação de velocidade entre 0 e omega fica no fator f(z).

Passo 6

Conclusão física: a forma vtheta=r,omega,f(z) separa o efeito geométrico da rotação (proporcional a r e à velocidade angular de contorno omega) do perfil de difusão viscosa ao longo de z (revelado por f(z)).

Resposta

A hipótese está baseada em três pontos físicos:
  1. simetria cilíndrica e rotação rígida local exigem vthetapropto r;
  2. a dissipação viscosa faz a rotação variar com a altura z, logo Omega(z)=omega f(z);
  3. análise dimensional obriga vtheta=romegatimes(função adimensional)çã. Portanto é natural escrever
vtheta(r,z)=r,omega,f(z),

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