Hipótese para
: Admita que a velocidade na direção
tenha a forma
, onde
é uma função a ser determinada. Justifique fisicamente essa suposição.
Passo 1
O enunciado pede que a componente tangencial da velocidade num escoamento axisimétrico e estacionário seja escrita na forma
onde
é uma constante (velocidade angular de contorno) e
é uma função adimensional de
que ainda vamos determinar. O conteúdo é mecânica dos fluidos em coordenadas cilíndricas e vamos usar argumentos de simetria, análise dimensional e condições de contorno para justificar por que se pode fatorar
e
.
Passo 2
Simetria cilíndrica e rotação rígida local: num escoamento puramente azimutal e axisimétrico, em cada plano
const o fluido gira “como um corpo rígido” localmente, ou seja,
pois em rotação rígida a velocidade tangencial cresce linearmente com o raio.
Passo 3
Dependência em
via difusão viscosa: como há atrito entre camadas de fluido em diferentes alturas
, a taxa de rotação local
pode variar com
. Logo é natural escrever
onde
é a rotação imposta pela parede giratória e
captura o perfil de desaceleração ou aceleração pelo atrito.
Passo 4
Análise dimensional: à esquerda
tem dimensão de velocidade
. À direita
tem dimensão
,
tem dimensão
e
é adimensional. Assim
confirmando a consistência.
Passo 5
Condições de contorno determinam
: no disco estacionário (por exemplo
) vale a condição de não deslizamento
e sobre o disco giratório (por exemplo
)
Portanto toda a variação de velocidade entre 0 e
fica no fator
.
Passo 6
Conclusão física: a forma
separa o efeito geométrico da rotação (proporcional a
e à velocidade angular de contorno
) do perfil de difusão viscosa ao longo de
(revelado por
).
Resposta
A hipótese está baseada em três pontos físicos:
- simetria cilíndrica e rotação rígida local exigem
; - a dissipação viscosa faz a rotação variar com a altura
, logo ; - análise dimensional obriga
. Portanto é natural escrever