Equação de resfriamento. O decaimento da temperatura de um objeto é dado por
d Td t=-k(T-Ta)
, onde T(t) é a temperatura do objeto no tempo t, Ta é a temperatura ambiente e k é uma constante que depende das propriedades do material e do ambiente. Supondo que um objeto esteja inicialmente a 100^circ C em um ambiente a 20^circ C e que a constante de resfriamento seja k=0.05 min^-1, qual será a temperatura do objeto após 30 minutos?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de equação de resfriamento! O enunciado nos dá uma equação diferencial que descreve como a temperatura de um objeto diminui ao longo do tempo. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente equações diferenciais ordinárias. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração para resolver a equação e encontrar a temperatura após 30 minutos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que nos foi dada:
d Td t = -k(T - Ta)
Aqui, $ T(t) $ é a temperatura do objeto no tempo $ t $, $ T_{a} $ é a temperatura ambiente, e $ k $ é uma constante que depende das propriedades do material e do ambiente.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar $ T(t) $, a temperatura do objeto em qualquer tempo $ t $. Para isso, vamos resolver a equação diferencial. Primeiro, reescrevemos a equação:
T(t)
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que podemos resolver usando um fator integrante.

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
d Td t + kT = kTa
Agora, identificamos que o fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
mu(t)

Passo 5

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
e^kt d Td t + ke^kt T = kTa e^kt
O lado esquerdo da equação agora é a derivada de $ T e^{kt} $:
T e^kt

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a $ t $:
t
Isso nos dá:
integral ddt ( T e^kt ) dt = integral kTa e^kt dt
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo para $ T(t) $:
T(t)
Agora, usamos a condição inicial para encontrar $ C $. Sabemos que inicialmente, quando $ t = 0 $, $ T(0) = 100^\circ C $.

Passo 8

Substituindo os valores iniciais:
100 = 20 + C e^-0.05 times 0
Como $ e^{0} = 1 $, temos:
e^0 = 1

Passo 9

Agora, temos a expressão completa para a temperatura:
T(t) = 20 + 80 e^-0.05 t

Passo 10

Queremos saber a temperatura após 30 minutos, então substituímos $ t = 30 $:
t = 30
Calculando $ e^{-1.5} $:
T(30) = 20 + 80 e^-0.05 times 30 = 20 + 80 e^-1.5
Então:
e^-1.5

Resposta

Após 30 minutos, a temperatura do objeto será aproximadamente $ 37.85^{\circ} \mathrm{C} $.

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