Equação de resfriamento. O decaimento da temperatura de um objeto é dado por
, onde
é a temperatura do objeto no tempo
é a temperatura ambiente e
é uma constante que depende das propriedades do material e do ambiente. Supondo que um objeto esteja inicialmente a
em um ambiente a
e que a constante de resfriamento seja
, qual será a temperatura do objeto após 30 minutos?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de equação de resfriamento! O enunciado nos dá uma equação diferencial que descreve como a temperatura de um objeto diminui ao longo do tempo. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente equações diferenciais ordinárias. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração para resolver a equação e encontrar a temperatura após 30 minutos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que nos foi dada:
Aqui, $ T(t) $ é a temperatura do objeto no tempo $ t $, $ T_{a} $ é a temperatura ambiente, e $ k $ é uma constante que depende das propriedades do material e do ambiente.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar $ T(t) $, a temperatura do objeto em qualquer tempo $ t $. Para isso, vamos resolver a equação diferencial. Primeiro, reescrevemos a equação:
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que podemos resolver usando um fator integrante.
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
Agora, identificamos que o fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo da equação agora é a derivada de $ T e^{kt} $:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a $ t $:
Isso nos dá:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Resolvendo para $ T(t) $:
Agora, usamos a condição inicial para encontrar $ C $. Sabemos que inicialmente, quando $ t = 0 $, $ T(0) = 100^\circ C $.
Passo 8
Substituindo os valores iniciais:
Como $ e^{0} = 1 $, temos:
Passo 9
Agora, temos a expressão completa para a temperatura:
Passo 10
Queremos saber a temperatura após 30 minutos, então substituímos $ t = 30 $:
Calculando $ e^{-1.5} $:
Então:
Resposta
Após 30 minutos, a temperatura do objeto será aproximadamente $ 37.85^{\circ} \mathrm{C} $.