Um projétil é lançado do chão com uma velocidade inicial de 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s} num ângulo de 30^{\circ} acima da horizontal. Ele atinge o fundo de um buraco de 5 metros de profundidade. Calcule o tempo de voo, o alcance horizontal e a altura máxima atingida (considere \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ).
a) t_{\text {voo }} \approx 3 \mathrm{~s} ; A \approx 77.9 \mathrm{~m} ; h_{\text {max }}=11,25 \mathrm{~m}
b) t_{\text {voo }} \approx 2,5 \mathrm{~s} ; A \approx 64.9 \mathrm{~m} ; h_{\text {max }}=11,25 \mathrm{~m}
c) t_{\text {voo }} \approx 3 \mathrm{~s} ; A \approx 77.9 \mathrm{~m} ; h_{\text {max }}=15,3 \mathrm{~m}
d) t_{\text {voo }} \approx 2 s ; A \approx 51.9 m ; h_{\text {max }}=11,25 m
e) Outra resposta

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as grandezas listadas:
  • Velocidade inicial: \,v_0=30\\ \mathrm{m/s}.
  • Ângulo de lançamento: \theta=30^\circ acima da horizontal.
  • O projétil é lançado do chão (posição vertical inicial \,y_0=0) e atinge o fundo de um buraco com profundidade de 5\\ \mathrm{m}, ou seja, posição final vertical \,y_f=-5\\ \mathrm{m}.
  • Aceleração da gravidade: \,g=10\\ \mathrm{m/s^2}.
Perguntas do enunciado:
  1. Calcular o tempo de voo t_{\text{voo}} até atingir y_f=-5\\ \mathrm{m}.
  2. Calcular o alcance horizontal A (distância horizontal percorrida até atingir o buraco).
  3. Calcular a altura máxima atingida h_{\text{max}}.
  4. Comparar com as alternativas e indicar qual é correta.

Passo 2

Decomposição da velocidade inicial em componentes horizontal e vertical (isso é padrão em movimentos bidimensionais):
  • A componente horizontal é dada por \,v_{0x}=v_0\cos\theta.
  • A componente vertical é dada por \,v_{0y}=v_0\sin\theta.
Aplicando aos números:
v_{0x}=30\cos 30^\circ=30\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}.
v_{0y}=30\sin 30^\circ=30\cdot\frac{1}{2}=15\\ \mathrm{m/s}.
Explicação curta: usamos \cos e \sin porque a velocidade forma um triângulo retângulo com as componentes; \cos pega a projeção na horizontal e \sin na vertical.

Passo 3

Equação do movimento vertical com aceleração constante (positivo para cima):
y(t)=y_0+v_{0y}t-\tfrac{1}{2}gt^2.
Aqui y_0=0. Queremos y(t)= -5. Então:
-5 = 0 + v_{0y}t - \tfrac{1}{2} g t^2.
Substituindo v_{0y}=15 e g=10:
-5 = 15t - 5t^2.
Reorganizando para forma quadrática:
5t^2 -15t -5 = 0.
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Para at^2+bt+c=0 temos t=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}. Aqui a=5, b=-15, c=-5. Então
t=\frac{15\pm\sqrt{(-15)^2-4\cdot5\cdot(-5)}}{2\cdot5} =\frac{15\pm\sqrt{225+100}}{10} =\frac{15\pm\sqrt{325}}{10}.
Observe que \sqrt{325}=5\sqrt{13}, logo:
t=\frac{15\pm 5\sqrt{13}}{10}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}.
Temos duas raízes; a negativa corresponde a um tempo antes do lançamento, então descartamos. A raiz física é
t_{\text{voo}}=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\\ \mathrm{s}\approx 3,303\\ \mathrm{s}.
Pequeno comentário animador: você conseguiu chegar à expressão exata \frac{3+\sqrt{13}}{2}, que é melhor do que só um arredondamento!

Passo 4

Alcance horizontal A: como não há aceleração horizontal (desprezando resistência do ar), a velocidade horizontal é constante e
A=v_{0x}\,t_{\text{voo}}.
Usando v_{0x}=15\sqrt{3} e t_{\text{voo}}=\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}:
A=15\sqrt{3}\cdot\frac{3+\sqrt{13}}{2}=\frac{15\sqrt{3}}{2}\,(3+\sqrt{13}).
Valor numérico:
A\approx 25,9808\\ \mathrm{m/s}\times 3,303\\ \mathrm{s}\approx 85,81\\ \mathrm{m}.
Explicação: isso faz sentido porque a componente horizontal determina a velocidade ao longo do chão; multiplicando pelo tempo total obtemos a distância total percorrida na horizontal.

Passo 5

Altura máxima h_{\text{max}}: ocorre quando a velocidade vertical instantânea zera, ou seja v_y(t_{\text{pico}})=0. A velocidade vertical varia como
v_y(t)=v_{0y}-gt.
Então o tempo até o pico é
t_{\text{pico}}=\frac{v_{0y}}{g}=\frac{15}{10}=1,5\\ \mathrm{s}.
A altura máxima também pode ser calculada pela fórmula direta
h_{\text{max}}=\frac{v_{0y}^2}{2g}=\frac{15^2}{2\cdot10}=\frac{225}{20}=11,25\\ \mathrm{m}.
Verificação via posição: y(1,5)=15\cdot1,5-\tfrac{1}{2}\cdot10\cdot(1,5)^2=22,5-11,25=11,25\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Comparação com as alternativas fornecidas:
  • Tempo calculado: t_{\text{voo}}\approx 3,303\\ \mathrm{s} (nenhuma alternativa dá esse valor; algumas aproximam 3 s, mas o correto é cerca de 3,303 s).
  • Alcance calculado: A\approx 85,81\\ \mathrm{m} (nenhuma alternativa apresenta esse valor; as dadas são muito menores).
  • Altura máxima: h_{\text{max}}=11,25\\ \mathrm{m} (isso bate com as alternativas que apresentam 11,25\\ \mathrm{m}).
Conclusão: nenhuma das alternativas (a)-(d) coincide com todos os três valores corretos; portanto a resposta correta entre as opções dadas é a alternativa (e) Outra resposta.

Resposta

e) Outra resposta
t_{\text{voo}}=\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}\\ \mathrm{s}\approx 3,303\\ \mathrm{s}
A=\dfrac{15\sqrt{3}}{2}\,(3+\sqrt{13})\\ \mathrm{m}\approx 85,81\\ \mathrm{m}
h_{\text{max}}=11,25\\ \mathrm{m}

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