1. a equação do movimento que descreve a elevação z de um objeto que cai pela ação da gravidade através do vácuo
\frac{d^{2} z}{d t^{2}}=-g
A condição inicial é dada pela posiçăo z=z_{0} e pela velocidade w=w_{0}.
a) Descubra os parâmetros adimensionais e sua relação funcional para o problema descrito.

Passo 1

O enunciado dá a equação do movimento
\frac{d^{2}z}{dt^{2}} = -g,
com condições iniciais (no instante inicial, que vou tomar como t=0)
z(0)=z_{0},\qquad \frac{dz}{dt}(0)=w_{0}.
O que é pedido: descobrir os parâmetros adimensionais (os grupos adimensionais tipo \Pi) que descrevem o problema e qual é a relação funcional entre eles (ou seja, escrever a solução/condição do problema numa forma adimensional). Vou listar claramente as quantidades relevantes que aparecem:
  • variável posição: z (dimensão de comprimento);
  • variável tempo: t (dimensão de tempo);
  • aceleração da gravidade: g (dimensão de comprimento por tempo ao quadrado);
  • condições iniciais numéricas/paramétricas: z_{0} (comprimento) e w_{0} (velocidade, comprimento por tempo).

Passo 2

Ideia geral e contagem dimensional (breve explicação didática).
  • Usamos a técnica de adimensionalização: escolher escalas de referência para comprimento e tempo e definir variáveis adimensionais dividindo pelas escalas. Isso transforma a equação para uma forma com parâmetros adimensionais combinados.
  • Pelo Teorema de Buckingham: temos n=5 quantidades (z,t,g,z_{0},w_{0}) envolvendo m=2 dimensões básicas (comprimento L e tempo T), logo podemos formar n-m=3 parâmetros adimensionais independentes.
  • Vou construir explicitamente três \Pi-grupos naturais: um para a posição adimensional, um para o tempo adimensional e um para a velocidade inicial adimensional.

Passo 3

Escolha de escalas de referência (motivação e escolha).
  • Para comprimento tomo a escala natural dada por z_{0} (é a posição inicial, tem dimensão de comprimento). Defino
Z := \frac{z}{z_{0}} \quad\text{(posição adimensional).}çã
  • Para tempo, uma escolha natural envolvendo g e z_{0} é \displaystyle t_{\rm ref}=\sqrt{\frac{z_{0}}{g}}. Essa escolha tem motivo físico: combina g e z_{0} para formar uma escala temporal. Defino
\tau := t\sqrt{\frac{g}{z_{0}}}\quad\text{(tempo adimensional).}
  • Com essas escalas, resta um único parâmetro adimensional construído a partir de w_{0}, que será a velocidade inicial adimensional:
W := \frac{w_{0}}{\sqrt{g\,z_{0}}}.
Essas três quantidades Z,\tau,W são justamente os três \Pi-grupos independentes que o Teorema de Buckingham prevê.

Passo 4

Transformação das derivadas (como reescrever a equação diferencial em variáveis adimensionais).
  • Primeiro derivada:
\frac{dz}{dt}=\frac{d}{dt}\big(z_{0}Z(\tau)\big)=z_{0}\frac{dZ}{d\tau}\frac{d\tau}{dt}.
Como \tau=t\sqrt{g/z_{0}} temos \dfrac{d\tau}{dt}=\sqrt{\dfrac{g}{z_{0}}}. Logo
\frac{dz}{dt}=z_{0}\frac{dZ}{d\tau}\sqrt{\frac{g}{z_{0}}}=\sqrt{g z_{0}}\;\frac{dZ}{d\tau}.
  • Segunda derivada:
\frac{d^{2}z}{dt^{2}}=\frac{d}{dt}\left(\sqrt{g z_{0}}\;\frac{dZ}{d\tau}\right) =\sqrt{g z_{0}}\;\frac{d}{d\tau}\!\left(\frac{dZ}{d\tau}\right)\frac{d\tau}{dt} =\sqrt{g z_{0}}\;\frac{d^{2}Z}{d\tau^{2}}\sqrt{\frac{g}{z_{0}}}.
Portanto
\frac{d^{2}z}{dt^{2}}=g\;\frac{d^{2}Z}{d\tau^{2}}.

Passo 5

Substituição na equação original e obtenção da equação adimensional.
  • Substituindo \dfrac{d^{2}z}{dt^{2}}=g\,\dfrac{d^{2}Z}{d\tau^{2}} na equação \dfrac{d^{2}z}{dt^{2}}=-g obtém-se
g\;\frac{d^{2}Z}{d\tau^{2}} = -g.
  • Cancelando g (assumindo g\neq0) resulta a equação perfeitamente adimensional
\frac{d^{2}Z}{d\tau^{2}} = -1.

Passo 6

Condição inicial adimensional e interpretação do parâmetro adimensional.
  • A condição inicial em posição: Z(0)=\dfrac{z(0)}{z_{0}}=\dfrac{z_{0}}{z_{0}}=1.
  • A condição inicial em velocidade: \dfrac{dz}{dt}(0)=w_{0}. Pela fórmula da Passo 4, \dfrac{dz}{dt}(0)=\sqrt{g z_{0}}\;\dfrac{dZ}{d\tau}(0). Logo
\frac{dZ}{d\tau}(0)=\frac{w_{0}}{\sqrt{g z_{0}}}=W.
  • Assim o único parâmetro livre que aparece na forma adimensional é W. Ele mede a velocidade inicial comparada com a velocidade característica \sqrt{g z_{0}} (é análogo a um número de Froude).

Passo 7

Solução adimensional e relação funcional entre os parâmetros adimensionais.
  • A equação adimensional é simples e integrável:
\frac{d^{2}Z}{d\tau^{2}}=-1.
Integrando uma vez e aplicando \dfrac{dZ}{d\tau}(0)=W
\frac{dZ}{d\tau} = W - \tau.
Integrando novamente e usando Z(0)=1 resulta
Z(\tau) = 1 + W\,\tau - \frac{1}{2}\tau^{2}.
  • Reescrevendo em termos dos \Pi-grupos explicitamente, com as definições
\Pi_{1} := \frac{z}{z_{0}},\qquad \Pi_{2} := t\sqrt{\frac{g}{z_{0}}},\qquad \Pi_{3} := \frac{w_{0}}{\sqrt{g z_{0}}},
a relação funcional que conecta esses parâmetros é
\Pi_{1}(\Pi_{2}) = 1 + \Pi_{3}\,\Pi_{2} - \frac{1}{2}\,\Pi_{2}^{2}.

Resposta

\displaystyle \Pi_{1}=\frac{z}{z_{0}},\quad \Pi_{2}=t\sqrt{\frac{g}{z_{0}}},\quad \Pi_{3}=\frac{w_{0}}{\sqrt{g z_{0}}}
\displaystyle \Pi_{1}(\Pi_{2})=1+\Pi_{3}\,\Pi_{2}-\frac{1}{2}\Pi_{2}^{2}

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