- a equação do movimento que descreve a elevação
de um objeto que cai pela ação da gravidade através do vácuo
A condição inicial é dada pela posiçăo
e pela velocidade
.
a) Descubra os parâmetros adimensionais e sua relação funcional para o problema descrito.
Passo 1
O enunciado dá a equação do movimento
com condições iniciais (no instante inicial, que vou tomar como
)
O que é pedido: descobrir os parâmetros adimensionais (os grupos adimensionais tipo
) que descrevem o problema e qual é a relação funcional entre eles (ou seja, escrever a solução/condição do problema numa forma adimensional). Vou listar claramente as quantidades relevantes que aparecem:
- variável posição:
(dimensão de comprimento); - variável tempo:
(dimensão de tempo); - aceleração da gravidade:
(dimensão de comprimento por tempo ao quadrado); - condições iniciais numéricas/paramétricas:
(comprimento) e (velocidade, comprimento por tempo).
Passo 2
Ideia geral e contagem dimensional (breve explicação didática).
- Usamos a técnica de adimensionalização: escolher escalas de referência para comprimento e tempo e definir variáveis adimensionais dividindo pelas escalas. Isso transforma a equação para uma forma com parâmetros adimensionais combinados.
- Pelo Teorema de Buckingham: temos
quantidades envolvendo dimensões básicas (comprimento e tempo ), logo podemos formar parâmetros adimensionais independentes. - Vou construir explicitamente três
-grupos naturais: um para a posição adimensional, um para o tempo adimensional e um para a velocidade inicial adimensional.
Passo 3
Escolha de escalas de referência (motivação e escolha).
- Para comprimento tomo a escala natural dada por
(é a posição inicial, tem dimensão de comprimento). Defino
- Para tempo, uma escolha natural envolvendo
e é . Essa escolha tem motivo físico: combina e para formar uma escala temporal. Defino
- Com essas escalas, resta um único parâmetro adimensional construído a partir de
, que será a velocidade inicial adimensional:
Essas três quantidades
são justamente os três
-grupos independentes que o Teorema de Buckingham prevê.
Passo 4
Transformação das derivadas (como reescrever a equação diferencial em variáveis adimensionais).
- Primeiro derivada:
Como
temos
. Logo
- Segunda derivada:
Portanto
Passo 5
Substituição na equação original e obtenção da equação adimensional.
- Substituindo
na equação obtém-se
- Cancelando
(assumindo ) resulta a equação perfeitamente adimensional
Passo 6
Condição inicial adimensional e interpretação do parâmetro adimensional.
- A condição inicial em posição:
- A condição inicial em velocidade:
. Pela fórmula da Passo 4, . Logo
- Assim o único parâmetro livre que aparece na forma adimensional é
. Ele mede a velocidade inicial comparada com a velocidade característica (é análogo a um número de Froude).
Passo 7
Solução adimensional e relação funcional entre os parâmetros adimensionais.
- A equação adimensional é simples e integrável:
Integrando uma vez e aplicando
dá
Integrando novamente e usando
resulta
- Reescrevendo em termos dos
-grupos explicitamente, com as definições
a relação funcional que conecta esses parâmetros é