Use o Teorema da Convolução para resolver a seguinte equação integral:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou pede para resolver uma equação integral usando o Teorema da Convolução. A equação é:
Para resolver isso, vamos precisar usar a transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática que transforma funções do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações integrais e diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A transformada de Laplace de
é
, e a transformada de uma constante como 1 é
. Então, transformando ambos os lados:
Aqui, usamos que
é a convolução de
com
.
Passo 3
Agora, aplicamos o Teorema da Convolução, que diz que a transformada de Laplace da convolução de duas funções é o produto das suas transformadas. Sabemos que:
Então, a transformada da convolução
é:
Passo 4
Substituindo isso de volta na nossa equação transformada:
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, vamos trazer os termos com
para o mesmo lado:
Fatorando
:
Agora, isolamos
:
Simplificando a expressão:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar
aplicando a transformada inversa de Laplace em
:
Sabemos que:
Então, a solução é:
Resposta
A solução da equação é
.