Use o Teorema da Convolução para resolver a seguinte equação integral:
y(t)=1-integral0^t y(tau)(t-tau) d tau

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou pede para resolver uma equação integral usando o Teorema da Convolução. A equação é:
y(t) = 1 - integral0^t y(tau)(t - tau) dtau
Para resolver isso, vamos precisar usar a transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática que transforma funções do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações integrais e diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A transformada de Laplace de Ly(t) = L1 - Lintegral0^t y(tau)(t - tau) dtau é Y(s) = 1s - L y(t) * (t) , e a transformada de uma constante como 1 é . Então, transformando ambos os lados:
Aqui, usamos que é a convolução de com .

Passo 3

Agora, aplicamos o Teorema da Convolução, que diz que a transformada de Laplace da convolução de duas funções é o produto das suas transformadas. Sabemos que:
Lt = 1s^2
Então, a transformada da convolução L y(t) * t = Y(s) cdot 1s^2 é:

Passo 4

Substituindo isso de volta na nossa equação transformada:
Y(s) = 1s - Y(s) cdot 1s^2
Agora, vamos resolver para Y(s) + Y(s) cdot 1s^2 = 1s . Primeiro, vamos trazer os termos com Y(s) (1 + 1s^2) = 1s para o mesmo lado:
Y(s) = 1s cdot 11 + 1s^2
Fatorando Y(s) = 1s + 1s = ss^2 + 1 :
Agora, isolamos :
Simplificando a expressão:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar Y(s) = ss^2 + 1 aplicando a transformada inversa de Laplace em L^-1ss^2 + 1 = cos(t) :
y(t) = cos(t)
Sabemos que:
Então, a solução é:

Resposta

A solução da equação é .

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