Considere três cargas pontuais
e
localizadas nos pontos
,
e
em metros, respectivamente, no plano cartesiano
. Sendo
e
a constante de acoplamento da interação elétrica (lei de Coulomb).
Encontre as componentes da força
, exercida pela carga
na carga
.
Encontre as componentes da força
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três cargas pontuais:
- $ q_1 = 6 \times 10^{-9} , C $ localizada no ponto $ (0, 0) $,
- $ q_2 = -2 \times 10^{-9} , C $ localizada no ponto $ (0, 3) $,
- $ q_3 = 5 \times 10^{-9} , C $ localizada no ponto $ (4, 3) $.
Queremos encontrar as componentes da força $ \vec{F}_{23} $, que é a força exercida pela carga $ q_2 $ na carga $ q_3 $. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Coulomb, que nos ajuda a calcular a força elétrica entre duas cargas. Além disso, vamos precisar trabalhar com vetores para achar as componentes $ x $ e $ y $ dessa força.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Coulomb, que é dada por:
onde:
- $ \kappa = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 9 \times 10^{9} , Nm2/\text{C}2 $ é a constante eletrostática,
- $ q_1 $ e $ q_2 $ são as cargas,
- $ r $ é a distância entre elas,
- $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção de $ r $.
Queremos encontrar $ \vec{F}_{23} $, então vamos identificar:
- $ q_1 = q_2 = -2 \times 10^{-9} , C $ (a carga que está fazendo a força),
- $ q_2 = q_3 = 5 \times 10^{-9} , C $ (a carga que está recebendo a força).
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a distância $ r $ entre as cargas $ q_2 $ e $ q_3 $. As posições são:
- $ q_2 $ está em $ (0, 3) $,
- $ q_3 $ está em $ (4, 3) $.
A distância entre elas no eixo $ x $ é $ \Delta x = 4 - 0 = 4 , m $,
e no eixo $ y $ é $ \Delta y = 3 - 3 = 0 , m $.
e no eixo $ y $ é $ \Delta y = 3 - 3 = 0 , m $.
Então, a distância total $ r $ é:
Passo 4
Agora que temos $ r = 4 , m $, vamos calcular a força $ \vec{F}_{23} $ usando a Lei de Coulomb:
Substituindo os valores:
Primeiro, calculamos o produto das cargas:
E $ r^2 = 16 , m^2 $.
Então:
Passo 5
Agora, vamos determinar a direção de $ \hat{r} $. Como $ q_2 $ está em $ (0, 3) $ e $ q_3 $ está em $ (4, 3) $, o vetor $ \vec{r}_{23} $ aponta do $ q_2 $ para o $ q_3 $, ou seja, na direção positiva do eixo $ x $. Portanto, $ \hat{r} = \hat{i} $.
Substituindo isso na expressão da força:
Isso significa que a força está na direção negativa do eixo $ x $.
Resposta
As componentes da força $ \vec{F}_{23} $ são:
Ou seja,