A equação do movimento de uma partícula P de massa m é dada por
m \frac{d^{2} \mathbf{r}}{d t^{2}}=f(r) \mathbf{r}
onde r é o vetor posição de P em relação a uma origem 0, \mathrm{r}_{1} é o vetor unitário da direção de ref® é uma função da distância de P a O.
Interpretar fisicamente os casos em que f(r)<0 e f(r)>0.

Passo 1

O enunciado dá a equação do movimento
m\frac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}} = f(r)\,\mathbf{r},
onde \mathbf{r} é o vetor posição da partícula em relação à origem O, r=\|\mathbf{r}\| é a distância ao origen, e f(r) é uma função escalar que depende apenas de r. A pergunta é: interpretar fisicamente os casos em que \;f(r)<0\; e \;f(r)>0\;.
Informações relevantes que extraí do enunciado:
  • A força resultante (diretamente relacionada à aceleração) é paralela ao vetor posição \mathbf{r} (ou seja, é central — tem direção radial).
  • f(r) é um escalar que só depende da distância r.
  • Preciso dizer o que significam, fisicamente, os sinais de f(r).

Passo 2

Vamos relacionar \mathbf{r} com o versor radial para entender a direção da força. Definindo o versor radial
\hat{\mathbf{r}}=\frac{\mathbf{r}}{r},
temos a identidade útil
\mathbf{r}=r\,\hat{\mathbf{r}}.
Substituindo na equação dada obtemos (apenas reescrevendo)
m\frac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}}=f(r)\,r\,\hat{\mathbf{r}}.
Isto mostra que a aceleração (e portanto a força) tem direção radial \hat{\mathbf{r}} ou oposta a ela, dependendo do sinal do produto f(r)\,r. Como r>0 para uma partícula fora da origem, o sinal da aceleração radial é determinado pelo sinal de f(r).

Passo 3

Interpretação direta do sinal de f(r):
  • Se \;f(r)>0\;, então f(r)\,r>0 e o vetor f(r)\,\mathbf{r}=f(r)\,r\,\hat{\mathbf{r}} aponta na mesma direção de \hat{\mathbf{r}}, ou seja, aponta do centro O para fora. Fisicamente: a força é radial e dirigida para fora — é uma força repulsiva em relação à origem (empurra a partícula para longe do centro).
  • Se \;f(r)<0\;, então f(r)\,r<0 e f(r)\,\mathbf{r} aponta na direção oposta a \hat{\mathbf{r}}, isto é, em direção ao centro O. Fisicamente: a força é radial e dirigida para o centro — é uma força atrativa (puxa a partícula em direção ao centro).

Passo 4

Exemplos concretos para fixar a ideia:
  • Gravitação newtoniana (força atrativa): a força sobre massa m devido a uma massa M fixa na origem é
\mathbf{F}=-\frac{G M m}{r^{2}}\hat{\mathbf{r}}.
Escrevendo na forma f(r)\mathbf{r} temos
\mathbf{F}=-\frac{G M m}{r^{3}}\mathbf{r},
logo aqui f(r)=-\dfrac{G M m}{r^{3}}<0. Portanto gravidade corresponde a f(r)<0 (atraente).
  • Força de Coulomb entre cargas de mesmo sinal (repulsiva): para cargas q_1,q_2 fixas,
\mathbf{F}=k\frac{q_1 q_2}{r^{2}}\hat{\mathbf{r}} = \frac{k q_1 q_2}{r^{3}}\mathbf{r},
aqui f(r)=\dfrac{k q_1 q_2}{r^{3}}>0 quando q_1 q_2>0. Portanto cargas de mesmo sinal correspondem a f(r)>0 (repulsiva).

Passo 5

Consequências dinâmicas resumidas (o que esperar no movimento):
  • Para \;f(r)<0\; (atrativa): a partícula é puxada para o centro. Dependendo da energia e do momento angular, ela pode colidir com o centro, ficar em órbita ligada (se houver componente tangencial de velocidade) ou oscilar radialmente. Forças atrativas são típicas de potenciais que tendem a manter partículas próximas (possibilidade de órbitas ligadas).
  • Para \;f(r)>0\; (repulsiva): a partícula é empurrada para fora; se for deixada com velocidade radial, tende a afastar-se do centro e a afastamento pode aumentar indefinidamente (ou ser defletida se houver componente tangencial). Em espalhamentos (scattering), forças repulsivas desviam trajetórias para longe do centro.

Passo 6

Comentário sobre potenciais e estabilidade (opcional, mas útil): se a força for conservativa e radial, existe um potencial U(r) tal que a componente radial da força satisfaz F_{r}=-U'(r). No nosso caso F_{r}=f(r)\,r, então
-U'(r)=f(r)\,r.
Pontos onde f(r)=0 correspondem a pontos onde U'(r)=0 (possíveis equilíbrios). A estabilidade desses equilíbrios depende do sinal de U''(r) (ou, equivalentemente, de como f(r) varia com r), mas essa é uma análise adicional; o enunciado pedia apenas a interpretação do sinal de f(r).

Resposta

\;f(r)<0: força radial dirigida para o centro O — força atrativa (puxa a partícula para O).
\;f(r)>0: força radial dirigida para fora (na direção de \mathbf{r}) — força repulsiva (empurra a partícula para longe de O).

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