A equação do movimento de uma partícula
de massa
é dada por
onde r é o vetor posição de
em relação a uma origem
é o vetor unitário da direção de ref® é uma função da distância de
a
.
Interpretar fisicamente os casos em que
e
.
Interpretar fisicamente os casos em que
Passo 1
O enunciado dá a equação do movimento
onde
é o vetor posição da partícula em relação à origem
,
é a distância ao origen, e
é uma função escalar que depende apenas de
. A pergunta é: interpretar fisicamente os casos em que
e
.
Informações relevantes que extraí do enunciado:
Informações relevantes que extraí do enunciado:
- A força resultante (diretamente relacionada à aceleração) é paralela ao vetor posição
(ou seja, é central — tem direção radial). -
é um escalar que só depende da distância . - Preciso dizer o que significam, fisicamente, os sinais de
.
Passo 2
Vamos relacionar
com o versor radial para entender a direção da força. Definindo o versor radial
temos a identidade útil
Substituindo na equação dada obtemos (apenas reescrevendo)
Isto mostra que a aceleração (e portanto a força) tem direção radial
ou oposta a ela, dependendo do sinal do produto
. Como
para uma partícula fora da origem, o sinal da aceleração radial é determinado pelo sinal de
.
Passo 3
Interpretação direta do sinal de
:
- Se
, então e o vetor aponta na mesma direção de , ou seja, aponta do centro para fora. Fisicamente: a força é radial e dirigida para fora — é uma força repulsiva em relação à origem (empurra a partícula para longe do centro). - Se
, então e aponta na direção oposta a , isto é, em direção ao centro . Fisicamente: a força é radial e dirigida para o centro — é uma força atrativa (puxa a partícula em direção ao centro).
Passo 4
Exemplos concretos para fixar a ideia:
- Gravitação newtoniana (força atrativa): a força sobre massa
devido a uma massa fixa na origem é
Escrevendo na forma
temos
logo aqui
. Portanto gravidade corresponde a
(atraente).
- Força de Coulomb entre cargas de mesmo sinal (repulsiva): para cargas
fixas,
aqui
quando
. Portanto cargas de mesmo sinal correspondem a
(repulsiva).
Passo 5
Consequências dinâmicas resumidas (o que esperar no movimento):
- Para
(atrativa): a partícula é puxada para o centro. Dependendo da energia e do momento angular, ela pode colidir com o centro, ficar em órbita ligada (se houver componente tangencial de velocidade) ou oscilar radialmente. Forças atrativas são típicas de potenciais que tendem a manter partículas próximas (possibilidade de órbitas ligadas). - Para
(repulsiva): a partícula é empurrada para fora; se for deixada com velocidade radial, tende a afastar-se do centro e a afastamento pode aumentar indefinidamente (ou ser defletida se houver componente tangencial). Em espalhamentos (scattering), forças repulsivas desviam trajetórias para longe do centro.
Passo 6
Comentário sobre potenciais e estabilidade (opcional, mas útil): se a força for conservativa e radial, existe um potencial
tal que a componente radial da força satisfaz
. No nosso caso
, então
Pontos onde
correspondem a pontos onde
(possíveis equilíbrios). A estabilidade desses equilíbrios depende do sinal de
(ou, equivalentemente, de como
varia com
), mas essa é uma análise adicional; o enunciado pedia apenas a interpretação do sinal de
.